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Normen Eigenschaften: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Mo 24.11.2008
Autor: valaida

Aufgabe
Beweis

||.|| und |||.||| Normen auf X (Vektorraum). Dann sind äquivalent:

a) Die Normen ||.|| und |||.||| sind äquivalent

b) Eine Folge ist eine ||.||-Nullfolge <=> die Folge ist eine |||.||| Nullfolge

c) Eine Folge ist konvergent bezüglich ||.|| <=> sie ist bezüglich |||.||| konvergent

Hallo Leute,

ich muss schon zum zweiten Mal die Analysis 2 hören. Leider habe ich beim ersten Mal die Klausur nicht geschafft und versuche jetzt, den Stoff mal richtig zu verstehen. Deswegen habe ich mir hier angemeldet.


Wir haben in der Vorlesung geschrieben, dass

a) => b) => c) klar ist

Leider ist mir das nicht so wirklich klar, also mathematisch zumindest nicht,

Jetzt sind meine Fragen, wie würdet ihr a) => b) zeigen?

Und wie zeigt man b) => c).?

Freue mich über jegliche Hilfe.

valaida

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Normen Eigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:58 Mo 24.11.2008
Autor: fred97

Ich schreib Die mal auf, wie man a) => b) zeigt.

Die beiden Normen sind also äquivalent, d.h. es ex. a>0 und b>0 mit

         a|||x||| [mm] \le [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] b|||x||| für jedes x in X


Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in X. Dann gilt

   [mm] a|||x_n||| \le ||x_n|| \le b|||x_n||| [/mm] für jedes n in [mm] \IN [/mm]

Da a und b positiv sind, folgt:

[mm] (||x_n||) [/mm] ist eine Nullfolge [mm] \gdw (|||x_n|||) [/mm]  ist eine Nullfolge. Somit ist b) gezeigt.


FRED

Bezug
                
Bezug
Normen Eigenschaften: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Mo 24.11.2008
Autor: valaida

Hallo an alle.

Erst einmal danke fred97 für die so ausführliche Antwotz zu a) => b)

Jetzt erschließt sich für mich noch nicht ganz b) => c)

Viele Grüße
valaida


Bezug
                        
Bezug
Normen Eigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Mo 24.11.2008
Autor: pelzig

Für [mm] $b)\Rightarrow [/mm] c)$ musst du zeigen, dass wenn eine beliebige Folge bzgl [mm] $||\cdot||$ [/mm] konvergiert, dann auch bzgl. [mm] $|||\cdot|||$, [/mm] und darfst dafür die Aussage b) benutzen. Also:

Sei [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge, die bezüglich [mm] $||\cdot||$ [/mm] konvergiert. Dann gibt es ein [mm] $x\in [/mm] X$ derart, dass [mm] $(x_n-x)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge (bzgl. [mm] $||\cdot||$) [/mm] ist - das ist die Definition von Konvergenz. Nach Voraussetzung b) ist dann [mm] $(x_n-x)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge bzgl. [mm] $|||\cdot|||$, [/mm] also konvergiert [mm] $(x_n)$ [/mm] auch bzgl. [mm] $|||\cdot|||$ [/mm] - und zwar gegen denselben Grenzwert $x$.

Gruß, Robert

Bezug
                                
Bezug
Normen Eigenschaften: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:13 Mo 24.11.2008
Autor: valaida

Hallo pelzig

Ich danke auch dir für die ausführliche Antwort.
Endlich habe ich den Trick auch mal gesehen

Liebe Grüße
valaida

Bezug
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