Normen und Abbildungen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Do 26.05.2011 | | Autor: | Vio_math |
| Aufgabe | Sei W = [mm] \{f:[0,2\pi]->\IR|f(x)=a*cos(x)+b*sin(x),a,b\el\ \IR)\subset\ C^1(intervall(0,2\pi))\}
[/mm]
versehen mit der Norm [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel:= \bruch{1}{\wurzel[]{\pi}}*(\wurzel[2]{\integral_{0}^{2pi}{f(x)^{2} dx}})
[/mm]
[mm] \(die [/mm] Normaxiome brauchen nicht gezeigt zu [mm] werden\).
[/mm]
a) Zeige, dass [mm] \Phi:W->\IR^2\ [/mm] (a*cos+b*sin) (restriktiert auf [mm] (0,2\pi)) [/mm] ->(a,b)
ein Isomorphismus ist, und dass für alle f [mm] \inW [/mm] gilt [mm] \parallel\Phi(f)\parallel_2=\parallel [/mm] f [mm] \parallel
[/mm]
b) Zeige, dass die Ableitung A:W->W,f->f'
eine stetige lineare Abbildung ist, und dass gilt
[mm] \Phi\circ A\circ \Phi^{-1}* (a;b)=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }*(a;b).
[/mm]
c) Zeige direkt und mit Hilfe von b), dass [mm] A^4=A \circ A\circ A\circ A=Id_W. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey Leute,
ich habe Probleme mit je den 2. Teilaufgaben von a)-c). Wie sehen denn [mm] \Phi\circ [/mm] A [mm] \circ\Phi [/mm] ^-1 und
[mm] \Phi(f) [/mm] aus? Und inwieweit weise ich mithilfe von b) die Aussage in c nach?
Vio
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> ich habe Probleme mit je den 2. Teilaufgaben von a)-c). Wie sehen denn $ [mm] \Phi\circ [/mm] $ A $ [mm] \circ\Phi [/mm] $ ^-1 und
$ [mm] \Phi(f) [/mm] $ aus?
[mm] $\Phi$ [/mm] ist definiert durch
$ [mm] \Phi:\ W\to\IR^2;\quad (a*\cos(x)+b*\sin(x))\Big|_{(0,2\pi)} \mapsto \vektor{a\\b}$
[/mm]
Also ist [mm] $\Phi(f)$ [/mm] folgerichtig ein Vektor aus dem [mm] $\IR^2$. [/mm] Ist $f$ von der Gestalt
[mm] $(a*\cos(x)+b*\sin(x))\Big|_{(0,2\pi)}$?
[/mm]
Ja? Also weißt Du jetzt auch, welcher Vektor bei [mm] $\Phi(f)$ [/mm] rauskommt.
Für
[mm] $(\Phi\circ A\circ \Phi^{-1})(a,b)$
[/mm]
gehst Du mal in der Reihenfolge, in der die 3 Operationen ausgeführt werden durch, was jede als input und was als output hat.
> Und inwieweit weise ich mithilfe von b) die Aussage in c nach?
Was ist
[mm] $(\Phi\circ A\circ \Phi^{-1})^4$?
[/mm]
ciao
Stefan
|
|
|
|
