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| Aufgabe | Warum werden durch folgende Abbildungen Normen definiert?
a)
[mm]N_1: \IR^2\to\IR v \to\wurzel{}[/mm]
mit dem euklidischen Skalarprodukt [mm]<*,*>[/mm]
b)
[mm]N_2: \IR^2\to\IR v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\to\max(|v_1|,|v_2|)[/mm]
c)
[mm]N_3: \IR^2\to\IR v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\to\|v_1|+|v_2|[/mm] |
Hallo Mathegemeinde,
ich habe zu dieser Aufgabe zwei Fragen:
1. Ist mein Ansatz formal richtig notiert?
2. Was bedeutet die Maximumnorm? Z.B. max(|-4|,|2|)=4. Wird mit dieser Norm so gerechnet, indem die höchste Komponente des Tupels angegeben wird?
Hier nun mein Ansatz:
Zunächst habe ich formuliert, dass einen Norm eine Funktion ist, dessen Abbild immer nichtnegativ ist. Dann habe ich die drei Kriterien Definitheit, Homogenität und de Dreiecksungleichung angewand.
a)
[mm]||v||=\wurzel{v_1^2+...+v_n^2}[/mm]
i) [mm]\wurzel{v_1^2+...+v_n^2}=0 \gdw v=0[/mm]
ii) [mm]||\lambda v||=|\lambda|\wurzel{v_1^2+...+v_n^2}=|\lambda|||v||[/mm]
iii) [mm] ||v||=||v|| [/mm]
b)
[mm]|v|=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=max(|v_1|,|v_2|)[/mm]
i) [mm]max(|v_1|,|v_2|)=0 \gdw v=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
ii) [mm]|\lambda v|=max(|\lambda||v_1|,|\lambda||v_2|)=|\lambda|max(|v_1|,|v_2|)|\lambda||v|=[/mm]
iii) [mm]max|v_3|=max|v_1+v_2|\le max(|v_1|+|v_2|)\le max|v_1|+max|v_2|[/mm]
c)
[mm]|v|=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=|v_1|+|v_2|[/mm]
i) [mm]|v_1|+|v_2|= \gdw v=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
ii) [mm]|\lambda v|=|\lambda||v_1|+|\lambda||v_2|=|\lambda|(|v_1|+|v_2|)=|\lambda||v|[/mm]
iii) [mm]|v_1+v_2|\le|v_1|+|v_2|[/mm]
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Hi.
Also zu a)
Du willst zeigen, dass $ [mm] N_1: \IR^2 \to \IR,\ [/mm] v [mm] \to\wurzel{} [/mm] $ eine Norm ist.
Dazu musst du, wie du richtig schreibst die Normaxiome - positiv definit, Homogenität und die Dreiecksungleichung -überprüfen.
Du betrachtest n-dimensionale Vektoren, was du laut deiner Aufgabenstellung garnicht musst, da wir und in $ [mm] \IR^2$ [/mm] befinden.
Dann zeigst du bei i) zwar die Definitheit, aber nicht, dass das Ergebnis immer größer (gleich) 0 ist.
Bei ii) überspringst du einen Schritt. Aus $ || [mm] \lambda [/mm] v|| $ folgt erst mal
$ [mm] \sqrt{(\lambda v_1)^2 +(\lambda v_2)^2}$. [/mm]
Bei iii) musst du eigentlich die Dreiecksungleichung zeigen, also [mm] $||v+w||\leq [/mm] ||v||+||w||$
zu b):
Du zeigst bei i) zwar die Definitheit, aber nicht, dass es immer größer (gleich) 0 ist.
Bei ii) bist du wieder ein Schritt zu schnell: Aus $ [mm] ||\lambda [/mm] v||$ folgt erst mal [mm] $max(|\lambda v_1|,|\lambda v_2|)$.
[/mm]
Bei iii) willst du die Dreiecksungleichung zeigen. Also wieder [mm] $||v+w||\leq [/mm] ||v||+||w||$. Der Ansatz hier ist [mm] $||v+w||=max(|v_1+w_1|,|v_2+w_2|)$.
[/mm]
c) solltest du, wenn du a und b gemacht hast alleine schaffen.
Was noch hilfreich und eigentlich euch nötig ist, ist dass du zwischen der einer Norm $|| [mm] \circ [/mm] ||$ und einem Betrag $| [mm] \circ [/mm] |$ unterscheidest.
Lg,
Baumkind
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Hallo Baumkind,
vielen Dank für deine Hinweise hier ist meine Berichtigung. Ist nun alles richtig?
a)
i) [mm]||v||=\wurzel{v_1^2+v_2^2}
\wurzel{v_1^2+v_2^2}=0 \gdw v=0
\wurzel{(-v_1)^2+(-v_2)^2}>0\Rightarrow\wurzel{v_1^2+v_2^2}>0[/mm]
ii) [mm]||\lambda v||=\wurzel{(\lambda v_1)^2+(\lambda v_2)^2}=\wurzel{\lambda^2 v_1^2+\lambda^2 v_2^2}=\wurzel{\lambda^2(v_1^2+v_2^2)}=|\lambda|\wurzel{(v_1^2+v_2^2)}=|\lambda| ||v||[/mm]
iii) [mm]||v_1+v_2||=\wurzel{v_1^2+v_2^2}\le\wurzel{v_1^2}+\wurzel{v_2^2}=v_1+v_2=||v_1||+||v_2||[/mm]
b)
i) [mm]||v||=max(|v_1|,|v_2)
max(|v_1|,|v_2|)=0 \gdw v=0
max(|-v_1|,|-v_2|)>0\Rightarrow max(|v_1|,|v_2|)>0[/mm]
ii) [mm]||\lambda v||=max(|\lambda v_1|,|\lambda v_2|)=max(|\lambda| |v_1|,|\lambda||v_2|)=|\lambda|max(|v_1|,|v_2|)=|\lambda| ||v||[/mm]
iii) [mm]||v_1+w_1||=max(|v_1+w_1|,|v_2+w_2|)\lemax(|v_1|+|w_1|,|v_2|+|w_2|)=||v_1||+||w_1||[/mm]
c)
i) [mm]||v||=|v_1|+|v_2|
|v_1|+|v_2|=0\gdw v=0
|-v_1|+|-v_2|>0\Rightarrow|v_1|+|v_2|>0[/mm]
ii) [mm]||\lambda v||=|\lambda v_1|+|\lambda v_2|=|\lambda||v_1|+|\lambda||v_2|=|\lambda|(|v_1|+|v_2|)=|\lambda|||v||[/mm]
iii) [mm]||v_1+v_2||=|Iv_1I+Iv_2I|\le|Iv_1I|+|Iv_2I|=||v_1||+||v_2||[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 So 18.04.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hallo Baumkind,
>
> vielen Dank für deine Hinweise hier ist meine
> Berichtigung. Ist nun alles richtig?
>
> a)
>
> i) [mm]||v||=\wurzel{v_1^2+v_2^2}
\wurzel{v_1^2+v_2^2}=0 \gdw v=0
OK.
\wurzel{(-v_1)^2+(-v_2)^2}>0\Rightarrow\wurzel{v_1^2+v_2^2}>0[/mm]
Das ist überflüssig.
> ii) [mm]||\lambda v||=\wurzel{(\lambda v_1)^2+(\lambda v_2)^2}=\wurzel{\lambda^2 v_1^2+\lambda^2 v_2^2}=\wurzel{\lambda^2(v_1^2+v_2^2)}=|\lambda|\wurzel{(v_1^2+v_2^2)}=|\lambda| ||v||[/mm]
OK.
> iii)
> [mm]||v_1+v_2||=\wurzel{v_1^2+v_2^2}\le\wurzel{v_1^2}+\wurzel{v_2^2}=v_1+v_2=||v_1||+||v_2||[/mm]
Das ist falsch. Du hast zwei Vektoren, z. B. u = [mm] (u_1, u_2) [/mm] und v = [mm] (v_1, v_2) [/mm] und dann musst du die Dreiecksungleichung für [mm] \parallel [/mm] u + v [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{(u_1+v_1)^2+(u_2+v_2)^2} [/mm] beweisen.
> b)
>
> i) [mm]||v||=max(|v_1|,|v_2)
max(|v_1|,|v_2|)=0 \gdw v=0
max(|-v_1|,|-v_2|)>0\Rightarrow max(|v_1|,|v_2|)>0[/mm]
>
Hier nochmal - die zweite Zeile ergibt keinen Sinn, überflüssig.
> ii) [mm]||\lambda v||=max(|\lambda v_1|,|\lambda v_2|)=max(|\lambda| |v_1|,|\lambda||v_2|)=|\lambda|max(|v_1|,|v_2|)=|\lambda| ||v||[/mm]
>
> iii)
> [mm]||v_1+w_1||=max(|v_1+w_1|,|v_2+w_2|)\lemax(|v_1|+|w_1|,|v_2|+|w_2|)=||v_1||+||w_1||[/mm]
>
Hier hast du es richtig gemacht (im Gegensatz zu a), obwohl du ein bisschen mit der Indizierung durcheinander kommst.
> c)
>
> i) [mm]||v||=|v_1|+|v_2|
|v_1|+|v_2|=0\gdw v=0
|-v_1|+|-v_2|>0\Rightarrow|v_1|+|v_2|>0[/mm]
>
>
> ii) [mm]||\lambda v||=|\lambda v_1|+|\lambda v_2|=|\lambda||v_1|+|\lambda||v_2|=|\lambda|(|v_1|+|v_2|)=|\lambda|||v||[/mm]
>
> iii)
> [mm]||v_1+v_2||=|Iv_1I+Iv_2I|\le|Iv_1I|+|Iv_2I|=||v_1||+||v_2||[/mm]
>
Hier hast du den gleichen Fehler wie bei a).
>
>
Grüße,
dormant
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| Aufgabe | (2) Berechnen Sie die dadurch entstandenen Metriken [mm]d_1[/mm],[mm]d_2[/mm],[mm]d_3[/mm] und zeichnen Sie die in Bezug auf[mm]N_1/d_1[/mm], [mm]N_2/d_2[/mm] bzw. [mm]N_3/d_3[/mm] Einheitsbälle (d. h. mit dem Radius 1) um 0!
(3) Begründen Sie (zunächst aufgrund der Zeichnung, dann mit Hilfe einer Rechnung), dass jeder Ball [mm]B_i={v\in\IR^2:N_i(v) |
Hallo Mathefreunde,
zuerst st hier der Link der sich auf die Aufgabe bezieht: https://matheraum.de/read?t=673409. Meine Frage zur 2 ist, was ich hier unter "Berechnen" verstehen soll. Muss ich die Normen mit den Axiomen einer Metrik abgleichen?
Vielen Dank im Voraus
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Hallo,
ich habe mich in Anbetracht der für mich fortgeschrittenen Stunde nicht sehr tief in die Aufgabe versenkt, ich gehe jedoch stark davon aus, daß Du hier die von den Normen induzierten Metriken angeben sollst.
Du hast eine Norm, in gewisser Art und Weise entsteht daraus eine Metrik, und deren Berechnungsvorschrift ist das Thema.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
das ist in Ordnung. Dann wünsche ich dir Gute Nacht. Es wäre nett, wenn du mir morgen dazu etwas mehr schreiben könntest.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Christoph
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Hallo,
das tue ich gewiß, sofern ich morgen sehe, wie Du mit den Hiweisen umgegangen bist - sprich: Lösungsansätze gepostet hast.
Gruß v. Angela
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Also ich habe hier mir folgenden Ansatz überlegt: Die Standardmetrik hat ja folgende Gestalt [mm]d(v,w)=|v-w|[/mm]. Folglich müssen unsere Normen auch diese Gestalt annehmen. Somit müsste gelten für [mm]N_1:d_1(v,w)=|v-w|=\wurzel{(v_1-w_1)^2+(v_2-w_2)^2[/mm]. Ist dies so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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