Normiertes Polynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Da Q[X] ein Hauptidealring ist, gibt es für das ideal [mm] I= |
Wie finde ich denn solch ein normiertes Polynom? ggT bestimmen? Chin. Restsatz? Polynomdivision?
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Hallo,
g ist einfach der GGT der drei Polynome. Der ist ja hier einfach zu bestimmen:
$ g(x)=(x+2)(x-3)$
Die Linearkombinaten bekommst du z.B. mit einem unbestimmten Ansatz und dann Koeffizientenvergleich.
lg rafael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 13.12.2012 | | Autor: | Trikolon |
Ok, aber was ist denn ein unbestimmter Ansatz?
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Ein unbestimmter Ansatz bedeutet du nimmst an deine Polynome [mm] $h_i$ [/mm] haben die Form
[mm] $h_1 [/mm] = [mm] a_nx^n [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_1x+a_0$ [/mm] mit [mm] $a_i \in \IQ$; [/mm] selbes Spiel mit den anderen [mm] $h_i$. [/mm] Mit ein paar Überlegungen kannst du Einschränkungen an den Grad $n$ stellen, alles ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich machen, der dir ein zu lösendes Gleichungssystem und schließlich eine Lösung [mm] $h_1,h_2,h_3$ [/mm] liefert.
Das kann in manchen Fällen durchaus sehr schön und schnell sein, es kann aber auch sehr umständlich und lange dauern, weswegen man immer abwägen muss, ob man es lieber so oder mit einem Algorithmus (siehe unten) macht.
lg
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moin,
der Euklidische Algorithmus kann dir hier helfen.
Berechnest du [mm] $g_1 [/mm] = [mm] ggT(f_1,f_2)$ [/mm] so liefert er dir Polynome [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] mit [mm] $g_1 =a_1f_1+a_2f_2$.
[/mm]
Berechnest du weiter [mm] $ggT(g_1,f_3) [/mm] = [mm] ggT(f_1,f_2,f_3) [/mm] = g$, so erhältst du also Polynome [mm] $b_1,b_2$ [/mm] mit $g = [mm] b_1g_1+b_2f_3 [/mm] = [mm] b_1(a_1f_1+a_2f_2)+b_2f_3$.
[/mm]
Ausmultiplizieren liefert dir nun die gesuchten [mm] $h_i$.
[/mm]
lg
Schadow
PS: Ich nehme an du meinst den Körper der rationalen Zahlen [mm] $\IQ$?
[/mm]
Schreib den bitte zum besseren Verständnis als $\IQ$ oder sag, welchen Körper du genau meinst.
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Ich hätte eine Frage zu deiner Antwort:
Wie funktioniert denn hier der euklidische Algorithmus, also wenn ich zb den ggT von f1 und f2 bestimmen will (weil das braucht man ja, wenn mans wieder rückwärts einsetzen will). Normal macht man das ja mit Polynomdivision, aber hier ist alles schon so schön faktorisiert. Kannst du vielleicht ein kleines Beispiel geben? Das wär lieb ;)
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Ich wüsste auch mal gerne, ob man das erst ausmultiplizieren muss und dann den ggT bestimmen muss, oder ob man erst kürzen darf und von dem was noch übrig bleibt den ggT bestimmen kann...
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Also ich habe jetzt raus:
[mm] ggT(f_1 [/mm] , [mm] f_2)= [/mm] -0,5x-0,5 = [mm] g_1
[/mm]
[mm] ggT(g_1, f_3)= x^3-7x-6 [/mm] = [mm] ggT(f_1, f_3, f_3). [/mm] Wie macht man das denn jetzt geanu mit dem Rückwärtseinsetzen?
Und dann gilt doch: [mm] -0,5x-0,5=1*((x-1)^2(x+2)^2(x-3))-x*((x-1)(x+2)(x+1)(x-3), [/mm] oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 15.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 15.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Meine Frage hat sich erledigt, ist ja klar ;)
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