www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesNormiertes Polynom gesucht
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Normiertes Polynom gesucht
Normiertes Polynom gesucht < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Normiertes Polynom gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Fr 01.06.2012
Autor: phychem

Hallo


Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und man betrachte für einen beliebigen Endomorphismus F [mm] \in [/mm] End(V) den folgenden Algebrenhomomorphismus zwischen der Algebra der Polynome über K und der Endomorphismenalgebra von V:

K[X] [mm] \to [/mm] End(V)   ,   [mm] p=\summe_{n}p_{n}X^{n} \mapsto p(F):=\summe_{n}p_{n}F^{n} [/mm]


Nun soll ich zeigen, dass es ein normiertes Polynom p [mm] \in [/mm] K[X] mit p(F)=0 und Grad(p) [mm] \le n^{2} [/mm] gibt (0 steht für die Nullabbildung).
Dieser Beweis sollte eigentlich ziemlich trivial sein, nur gelingt er mir gerade einfach nicht.
Ich weiss, dass [mm] dim(K[X])=\infty [/mm] ist, und wenn ich mich nicht irre, gilt [mm] dim(End(V))=n^{2}. [/mm] Aber wie schliess ich nun auf die Existenz eines solchen normierten Polynoms?
In der Aufgabenstellung wird noch darauf hingewiesen, dass man die Endomorphismen id, F, [mm] F^{2},...,F^{n^{2}} [/mm] betrachten soll.
Leider konnte ich mit diesem Hinweis nicht allzuviel anfangen.

        
Bezug
Normiertes Polynom gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Fr 01.06.2012
Autor: Schadowmaster

moin,

Du hast hier mit den Potenzen von $F$ genau [mm] $n^2+1$ [/mm] Elemente deines Vektorraums, also mehr als der Vektorraum Dimension hat.
Das heißt diese sind linear abhängig.
Wie kannst du das verwenden, um das gesuchte Polynom zu finden?

lg

Schadowmaster

Bezug
                
Bezug
Normiertes Polynom gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Fr 01.06.2012
Autor: phychem

Achso, d.h. die Nullabbildung lässt sich als eine nicht-triviale Linearkombination der Endomorphismen id, F, [mm] F^{2}, [/mm] ..., [mm] F^{n^{n}} [/mm] schreiben:

0 = [mm] k_{0}id [/mm] + [mm] k_{1}F [/mm] + [mm] k_{2}F^{2} [/mm] + ... + [mm] k_{n^{2}}F^{n^{2}} [/mm]

mit

[mm] \exists [/mm] i [mm] \in \{0,1,...,n^{2}\}: k_{i} \not= [/mm] 0

Indem ich nun beide Seiten mit dem Skalar [mm] 1/k_{m} [/mm] mit
m:= max{ i [mm] \in \{0,1,...,n^{2}\}: k_{i} \not= [/mm] 0}
multipliziere, erhalte ich das gesuchte normierte Polynom.

Richtig?

Bezug
                        
Bezug
Normiertes Polynom gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Fr 01.06.2012
Autor: Schadowmaster


> Achso, d.h. die Nullabbildung lässt sich als eine
> nicht-triviale Linearkombination der Endomorphismen id, F,
> [mm]F^{2},[/mm] ..., [mm]F^{n^{n}}[/mm] schreiben:
>  
> 0 = [mm]k_{0}id[/mm] + [mm]k_{1}F[/mm] + [mm]k_{2}F^{2}[/mm] + ... +
> [mm]k_{n^{2}}F^{n^{2}}[/mm]
>  
> mit
>  
> [mm]\exists[/mm] i [mm]\in \{0,1,...,n^{2}\}: k_{i} \not=[/mm] 0
>  
> Indem ich nun beide Seiten mit dem Skalar [mm]1/k_{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

mit

>  m:= max{ i [mm]\in \{0,1,...,n^{2}\}: k_{i} \not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

0}

>  multipliziere, erhalte ich das gesuchte normierte
> Polynom.
>  
> Richtig?

ganz genau!


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]