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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Susa93 |
Hi,
zur Prüfungsvorbereitung habe ich mir Übungsaufgaben anderer Unis angesehen und bin dabei über eine Notation gestoßen mit der ich absolut nichts anfangen kann. Es ging um die Aufgabe:
Es seien V und W Vektorräume über K mit dim V = n [mm] \in \IN [/mm] und T : V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Es sei (v1,...,vr) eine geordnete Basis von N(T) und (v1,...,vn) eine geordnete Basis von V. Zeigen Sie, dass (Tvr+1,...,Tvn) eine geordnete Basis von R(T) ist.
Ich stelle mir die Aufgabe nicht schwer vor, ich weiß nur nicht, was mit "R(T)" oder "N(T)".
Bisher auch in keinem Skript zu Lina I eine Erklärung dazu gefunden. Ich hoffe jemand hier hat die Antwort darauf.
Vielen Dank,
Susa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
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> zur Prüfungsvorbereitung habe ich mir Übungsaufgaben
> anderer Unis angesehen und bin dabei über eine Notation
> gestoßen mit der ich absolut nichts anfangen kann. Es ging
> um die Aufgabe:
>
> Es seien V und W Vektorräume über K mit dim V = n [mm]\in \IN[/mm]
> und T : V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung. Es sei (v1,...,vr)
> eine geordnete Basis von N(T) und (v1,...,vn) eine
> geordnete Basis von V. Zeigen Sie, dass (Tvr+1,...,Tvn)
> eine geordnete Basis von R(T) ist.
>
> Ich stelle mir die Aufgabe nicht schwer vor, ich weiß nur
> nicht, was mit "R(T)" oder "N(T)".
> Bisher auch in keinem Skript zu Lina I eine Erklärung dazu
> gefunden. Ich hoffe jemand hier hat die Antwort darauf.
kannst Du kurz dazuschreiben, wo Du diese Aufgabe gefunden hast?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Susa93 |
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~kraus/Download/LinA-SS-13/LA-Uebung-10.pdf aufgabe 10.4
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~kraus/Download/LinA-SS-13/LA-Uebung-10.pdf
> aufgabe 10.4
ich habe mal versucht, ein entsprechendes Skript zu finden - das war mir
leider nicht möglich. Du könntest aber auch einfach die Dozentin anschreiben;
da wird sicher niemand beleidigt sein, wenn Du nachfragst - zumal Du als
externe Person ja nur Interesse an den Übungen zeigst!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Susa93 |
Wird wohl das beste sein. Ich danke dir trotzdem vielmals für die Bemühung :)
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> Hi,
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> zur Prüfungsvorbereitung habe ich mir Übungsaufgaben
> anderer Unis angesehen und bin dabei über eine Notation
> gestoßen mit der ich absolut nichts anfangen kann. Es ging
> um die Aufgabe:
>
> Es seien V und W Vektorräume über K mit dim V = n [mm]\in \IN[/mm]
> und T : V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung. Es sei (v1,...,vr)
> eine geordnete Basis von N(T) und (v1,...,vn) eine
> geordnete Basis von V. Zeigen Sie, dass (Tvr+1,...,Tvn)
> eine geordnete Basis von R(T) ist.
>
> Ich stelle mir die Aufgabe nicht schwer vor, ich weiß nur
> nicht, was mit "R(T)" oder "N(T)".
Hallo,
ich bin mir absolut sicher, daß mit N(T) gemeint ist Kern(T),
und ich bin mir sicher, daß R(T) das Bild von T sein soll.
Was etwas blöd ist: die zu zeigende Aussage stimmt so nicht nicht...
Ich glaube, daß bei der Aufgabenstellung etwas mißglückt ist.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> > Hi,
> >
> > zur Prüfungsvorbereitung habe ich mir Übungsaufgaben
> > anderer Unis angesehen und bin dabei über eine
> Notation
> > gestoßen mit der ich absolut nichts anfangen kann. Es
> ging
> > um die Aufgabe:
> >
> > Es seien V und W Vektorräume über K mit dim V = n [mm]\in \IN[/mm]
>
> > und T : V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung. Es sei (v1,...,vr)
> > eine geordnete Basis von N(T) und (v1,...,vn) eine
> > geordnete Basis von V. Zeigen Sie, dass (Tvr+1,...,Tvn)
> > eine geordnete Basis von R(T) ist.
> >
> > Ich stelle mir die Aufgabe nicht schwer vor, ich weiß
> nur
> > nicht, was mit "R(T)" oder "N(T)".
>
> Hallo,
>
> ich bin mir absolut sicher, daß mit N(T) gemeint ist
> Kern(T),
> und ich bin mir sicher, daß R(T) das Bild von T sein
> soll.
>
> Was etwas blöd ist: die zu zeigende Aussage stimmt so
> nicht nicht...
deswegen hatte ich die Vermutung [mm] $N(T)=\text{ker }T$ [/mm] und [mm] $R(T)=\text{Bild }T$ [/mm] verworfen!
> Ich glaube, daß bei der Aufgabenstellung etwas mißglückt ist.
Das kann natürlich sein!
Gruß,
Marcel
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> > > Es seien V und W Vektorräume über K mit dim V = n
> [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > > und T : V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung. Es sei (v1,...,vr)
> > > eine geordnete Basis von N(T) und (v1,...,vn) eine
> > > geordnete Basis von V. Zeigen Sie, dass
> (Tvr+1,...,Tvn)
> > > eine geordnete Basis von R(T) ist.
> > >
> > Was etwas blöd ist: die zu zeigende Aussage stimmt so
> > nicht nicht...
>
> deswegen hatte ich die Vermutung [mm]N(T)=\text{ker }T[/mm] und
> [mm]R(T)=\text{Bild }T[/mm] verworfen!
Hallo Marcel,
ich glaube, daß Du denselben Denkfehler hattest wie ich: die Aussage stimmt doch.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
>
> > > > Es seien V und W Vektorräume über K mit dim V = n
> > [mm]\in \IN[/mm]
> > >
> > > > und T : V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung. Es sei
> (v1,...,vr)
> > > > eine geordnete Basis von N(T) und (v1,...,vn) eine
> > > > geordnete Basis von V. Zeigen Sie, dass
> > (Tvr+1,...,Tvn)
> > > > eine geordnete Basis von R(T) ist.
> > > >
>
> > > Was etwas blöd ist: die zu zeigende Aussage stimmt so
> > > nicht nicht...
> >
> > deswegen hatte ich die Vermutung [mm]N(T)=\text{ker }T[/mm] und
> > [mm]R(T)=\text{Bild }T[/mm] verworfen!
>
> Hallo Marcel,
>
> ich glaube, daß Du denselben Denkfehler hattest wie ich:
> die Aussage stimmt doch.
mhm, okay:
Sei $w [mm] \in [/mm] W$ zudem mit $w [mm] \in \text{Bild }T\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $w=\sum_{j=1}^n k_j Tv_j$ [/mm] mit geeigneten [mm] $k_j \in K\,.$
[/mm]
Es folgt
[mm] $w=\sum_{j=1}^r k_j Tv_j +\sum_{j=r+1}^n k_j Tv_j\,.$
[/mm]
und da nach Voraussetzung insbesondere [mm] $v_j \in \text{ker }T$ [/mm] ($j=1,...,r$) gilt, folgt
[mm] $w=\sum_{j=r+1}^n k_j Tv_j\,.$
[/mm]
(Man kann auch [mm] $T\sum_{j=1}^r k_j v_j=0$ [/mm] verwenden, da ja [mm] $\sum_{j=1}^r k_j v_j \in \text{ker }T$ [/mm] gilt!)
Daraus folgt sofort, dass [mm] $(Tv_{r+1},...,Tv_{n})$ [/mm] ein EZS von [mm] $\text{Bild } [/mm] T$ ist!
Die lineare Unabhängigkeit würde aber schiefgehen, dachte ich zumindest.
Also rechnen wir sie nach:
Seien $k'_{r+1},...,k'_n [mm] \in [/mm] K$ mit
[mm] $\sum_{j=r+1}^n [/mm] k'_j [mm] Tv_j=0\,.$
[/mm]
Es folgt wegen der Linearität
$T [mm] \sum_{j=r+1}^n [/mm] k'_j [mm] v_j=0$
[/mm]
und daher [mm] $\sum_{j=r+1}^n [/mm] k'_j [mm] v_j \in \text{ker }T\,.$ [/mm] Also gibt es $k''_1,...,k''_r [mm] \in [/mm] K$ mit
[mm] $\sum_{j=r+1}^n [/mm] k'_j [mm] v_j=\sum_{j=1}^r [/mm] k''_j [mm] v_j\,.$
[/mm]
(Denn [mm] $(v_1,...,v_r)$ [/mm] ist ja eine (geordnete) Basis des Kerns von T!)
Alles klar: Du hast Recht. Daraus erkennt man (fast) sofort, dass [mm] $k''_j=0=0_K$ [/mm] ($j=1,...,r$) und
(das ist das Interessante) $k'_j=0$ für $j=r+1,...,n$ gelten muss, weil [mm] $(v_1,...,v_n)$ [/mm]
als Basis von [mm] $V\,$ [/mm] linear unabhängig ist. Also ist [mm] $(Tv_{r+1},...,Tv_n)$ [/mm] ein minimales EZS von
[mm] $\text{Bild }T\,,$ [/mm] also eine (geordnete) Basis davon!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 So 14.07.2013 | | Autor: | Susa93 |
Super. So macht das ganze endlich Sinn. Vielen dank euch Zwei für die schnelle Antwort!
Gruß Susanne
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