Notwendiges Kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Sa 14.04.2012 | | Autor: | db60 |
Auf dieser Seite wird erklärt, was das notwendige Kriterium ist.
[mm] http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Reihe:_Konvergenz_einer_Reihe
[/mm]
Es gibt einige Sachen, die ich noch nicht ganz verstanden habe.
Du siehst, dass für die einzige konvergente Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} [/mm] die Folge [mm] \left(a_n\right)_{n\in \mathbb{N}} [/mm] eine Nullfolge ist. Das ist ein ganz allgemeines Konzept. Um dies zu begründen, betrachten wir die Partialsummen [mm] \sum_{k=0}^{n+1}{a_k} [/mm] und [mm] \sum_{k=0}^{n}{a_k} [/mm] einer konvergenten Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty}{a_k} [/mm] . Da die Reihe konvergiert, müssen die Grenzwerte [mm] \lim_{n \to \infty} {\sum_{k=0}^{n+1}{a_k}} [/mm] und [mm] \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}{a_k} [/mm] gleich sein. Denn anschaulich gesprochen macht es im Unendlichen keinen Unterschied, ob du ein Folgeglied mehr summierst oder nicht. Wenn die beiden Partialsummen allerdings gegen denselben Grenzwert konvergieren, so muss ihre Differenz gegen 0 konvergieren.
Beachte nun, dass die Differenz der Partialsummen aber gerade [mm] \sum_{k=0}^{n+1}{a_k} [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^{n}{a_k} [/mm] = [mm] a_{1}+\cdots+a_{n+1}-a_{1}-\cdots-a_{n} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] ist. Das heißt aber nichts anderes, als dass [mm] \left(a_{n+1}\right)_{n\in \mathbb{N}} [/mm] gegen 0 konvergiert. Das halten wir in folgendem Satz fest:
HILLGIALLO pigreco.png
Satz (Trivialkriterium für Reihenkonvergenz):
Ist eine Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty}{a_{k}} [/mm] mit reellen Gliedern [mm] a_{k} \in \mathbb{R} [/mm] konvergent, so bilden die Folgelieder [mm] a_{k} [/mm] eine Nullfolge, d.h. [mm] \lim_{k\to \infty} {a_k} [/mm] =0 .
Könnte man also sagen, dass jede Reihe deren Glied im unendlichen 0 ergibt das notwendige Kriterium erfüllt. Oder steckt da mehr dahinter ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Sa 14.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Das notwendige Kriterium für Reihen wird als "Trivialkriterium" verwenden, um zu zeigen, dass eine Reihe nicht konvergieren kann. Am Besten du verstehst es an einem Beispiel.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n
[/mm]
Was kannst du nun über [mm] $a_n:=n$ [/mm] sagen und was gilt dann für die Reihe ? Oder, falls du es genau haben willst, was kannst du über [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] sagen ?
Vergiss nur nicht, dass das ein notwendiges Kriterium ist für die Konvergenz einer Reihe und nicht hinreichend.
Ich hoffe, dass ich dir damit helfen konnte.
Gruß
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