Nration. Funktion -> Rational < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, eine weitere relativ simple Frage:
wie kann ich [mm] f(x)=[x^3] [/mm] ; (gemeint ist hier Betragsstriche, weiss leider nicht wie man die mit ner englischen tastatur schreibt)
in eine ganzrationale Funktion "umwandeln"
Mein Ansatz waere:
[mm] f(x)=(sqrt(x^2))^3 [/mm] ; die Frage ist, waere das ganzrational, und 2. MUSS man immer potenzen wegkuerzen, und 3. waere der Grad der Funktion _3_ oder ist der Grad in der Form nicht zu bestimmen?
Warum ich das ueberhaupt moechte ist eine Aussage die es zu wiederlegen oder zu beweisen gilt: Jede _ganzrationale_ Funktion mit ungeradem Grad hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Den Schnittpunkt kann man ja einfach vermeiden wenn man an obiges '+1' dranhaengt, doch das ist eher nebensaechlich ;)
Vielen Dank im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Mo 18.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Wurzeln sind nicht rational!
2. aus [mm] |x^3| [/mm] kannst du keine "normale! rationale fkt "machen!!
das siehst du schon daran, dass der Satz richtig ist, aber nicht für die Betragsfkt.
ungerader höchster Exponent, heisst für x gegen [mm] +\infty [/mm] und gegen [mm] -\infty [/mm] hat die fkt verschiedene Vorzeichen, also muss sie -da stetig- die x-achse mindestens 1 mal schneiden.
Gruss leduart
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Hi, sind Wurzeln deshalb nicht rational, weil ihr ergebnis + oder - ist ?
genau das wollte ich ja eigentlich vermeiden, sozusagen aus [mm] x^3 [/mm] ne 'Parabel' machen (das was eig. ins - geht einfach 'nach oben klappen' )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mo 18.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \wurzel(2) [/mm] ist im allgemeinen die erste irrationale Zahl, die man kennenlernt!
dadurch, dass du den Betrag (mit der positiven! Wurzel umschreibst hast du immer noch keine rationale fkt,
f(x)=x schneidet die x-Achse, f(x)=|x| nicht, was rationale fkt sind ist definiert! als summe über n mit [mm] a_nx^n [/mm] und keinerlei andere! also [mm] a_n*x^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_2x^2+a_1x+a_0
[/mm]
und nur um die geht es in deinem Satz.
Gruss leduart
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Achso, diese Defnition ganzration. Zahlen (Funktionen) kannte ich nicht.
Dann hat sich das ja erledigt, vor allem weil bei f(x)=[x] kaemen ja 2 'striche' raus die senkrecht zueinander sind und im Punkt 0/0 2 verschiedene Steigungen haette (je nachdem von wo man sich naehert)
Eine andere Frage: ganzrational heisst aber nicht, dass nur rationale Werte fuer Schnitt/Extrem/Wendepunkte rauskommen oder?
Also bei f(x)=0 kann durchaus irgendein 'krummes' x rauskommen (?)
Achso noch etwas:
Sind Brueche wie 1/3 irrational? Oder nur nichtperiodisierende Zahlen wie pi, wurzel von 2 etc. ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Di 19.11.2013 | | Autor: | sinnlos123 |
Vielen Dank euch, somit waere dann der Beweis(lies: Begruedung) dass alle ganzrationalen Funktionen mit Grad n (n>=3 und ungerade) einen Schnittpunkt mit der X-Achse haben:
a>0
[mm] f(x)=ax^n [/mm] +... +a (schuldigung weiss nicht wie man das hier schreibt) geht gegen unendlich wenn x gegen unendlich geht, und -unendlich fuer -unendlich.
Da die Funktion(richtiges Wort?) ihr Vorzeichen wechselt muss es einen Schnittpunkt mit der x-Achse geben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:54 Di 19.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Vielen Dank euch, somit waere dann der Beweis(lies:
> Begruedung) dass alle ganzrationalen Funktionen mit Grad n
> (n>=3 und ungerade) einen Schnittpunkt mit der X-Achse
> haben:
Für n = 1 gilt der Satz auch.
> a>0
Den Fall [mm] a_{n} [/mm] < 0 sollte man auch beachten, funktioniert aber Analog.
> [mm]f(x)=ax^n[/mm] +... +a (schuldigung weiss nicht wie man das
> hier schreibt) geht gegen unendlich wenn x gegen unendlich
> geht, und -unendlich fuer -unendlich.
> Da die Funktion(richtiges Wort?) ihr Vorzeichen wechselt
> muss es einen Schnittpunkt mit der x-Achse geben.
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Hi, bei n=1 hast du:
f(x)=ax + a (gleichbeideutend mit f(x)=x in diesem Zusammenhang)
der Fall ist so unspektakulaer, dass ich ihn 'ausgeklammert' hab ;)
Mit a<0 hast du Recht, wollte es nur nicht schreiben hehe.(is ja dasselbe umgekehrt)
Noch zum Thema: waere f(x)=x+[2^(0,5)] immernoch eine ganzrationale Funktion? lediglich der Schnittpunkt mit der y-Achse waer ja anders, aber sie ist differenzierbar.
Oder geht das nicht, weil wenn man 'hochleiten' wollen wuerde [mm] F(x)=0,5x^2+x2^{0,5}+z [/mm] rauskaem und das nicht mehr differenzierbar ist? (weil wurzel aus 2 entweder + oder - ist, mal abgesehen vom krummen wert) (edit: oder hochleitet man betragszeichen mit? dann sehe ich das Problem grade nicht ;) )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Di 19.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Noch zum Thema: waere f(x)=x+[2^(0,5)] immernoch eine
> ganzrationale Funktion? lediglich der Schnittpunkt mit der
> y-Achse waer ja anders, aber sie ist differenzierbar.
Die Quadratwurzel ist eindeutig und immer positiv (oder 0).
$f(x) = x + | [mm] \wurzel{2} [/mm] | = x + [mm] \wurzel{2}$ [/mm]
[mm] $F(x)=0,5x^2+\wurzel{2}x+z$ [/mm]
Beide Funktionen sind ganzrational.
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