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Hey Leute,
habe mal eine Frage zum Regula-falsi Verfahren, welches man ja nutzen kann, um eine Nullstelle zu approximieren.
Und war benutzt man ja die Formel:
[mm] x_{j}=a-\bruch{a-b}{f(a)-f(b)}\*f(a)
[/mm]
um auf die nächste Stelle [mm] x_{j} [/mm] zu kommen, durch welche dann die neue Sekante gelegt wird... je nachdem wie der Funktionswert f(x) ist, also positiv oder negativ, so muss man a oder b durch das x ersetzen, sodass [mm] f(a)\*f(b) [/mm] < 0 gilt (also f(a) und f(b) müssen unterschiedliche Vorzeichen besitzen)
Jetzt meine Frage:
Wie wähle ich am Anfang mein a und b? Ich meine, wenn ich zum Beispiel das Intervall [-2,7] habe, kann ich dann einfach a=-2 und b=7 definieren?
Danach meine Formel draufwerfen, gucken was mein neuer x-Wert ist, dann den Funktionswert prüfen und je nachdem a oder b ersetzen durch x?
Ich mache irgendwas bei diesem Verfahren immer falsch, weil ich bei jeder Aufgabe nur die größte Sche*** heraus bekomme und das geht mir langsam tieerisch auf die Nerven.
Hier mal ein Beispiel:
Es sei [mm] f(x)=x^{2}-9 [/mm] und das Interfall I=[-2,7] vorgegeben in dem die Nullstelle mittels Regula Falsi approximiert werden soll...
Was ich jetzt gemacht habe ist folgendes:
a=-2 f(a)=-5
b=7 f(b)=40
[mm] x_{0}=-2-\bruch{-2-7}{f(-2)-f(7)}\*f(-2) [/mm] = 2
f(2) = -5 --> also ersetze a weil beide Funktionswerte negativ...
neu:
a=2 f(a)=-5
b=7 f(b)=40
nächster schritt:
[mm] x_{1}=2-\bruch{2-7}{f(2)-f(7)}\*f(2) [/mm] = [mm] -\bruch{10}{9}
[/mm]
[mm] f(-\bruch{10}{9})=-\bruch{629}{81} [/mm]
--> also verwerfe wieder das a und ersetze es mit [mm] -\bruch{10}{9}
[/mm]
usw.
Und das ist absolut falsch was ich hier mache, was mir selbst aufgefallen ist! Und zwar stimmt schon der erste berechnet x - Wert nicht!!
Nach der Formel sei ja angeblich der Schnittpunkt mir der x-Achse [mm] x_{0}=2
[/mm]
was nicht stimmt! Ich habe es mal zu Fuß ausgerechnet und der Schnittpunkt muss bei x=1 liegen!
Jetzt habe ich danach einfach das ganze noch einmal gerechnet und a und b anders gewählt und zwar dass
a=7 f(a)=40
b=-2 f(b)=-5
und jetzt kommt auf einmal nach der Formel der richtige Wert raus und
[mm] x_{0} [/mm] ist auf einmal gleich 1...
Ich werd noch wahsinnig mit diesem Verfahren, weil ich einfach kein Schema erkenne wie ich a und b wählen muss...
Wäre wirklich froh wenn mir jemand schnell weiterhelfen könnte!
Danke schon einmal ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo marvin-92,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hey Leute,
> habe mal eine Frage zum Regula-falsi Verfahren, welches
> man ja nutzen kann, um eine Nullstelle zu approximieren.
> Und war benutzt man ja die Formel:
>
> [mm]x_{j}=a-\bruch{a-b}{f(a)-f(b)}\*f(a)[/mm]
>
> um auf die nächste Stelle [mm]x_{j}[/mm] zu kommen, durch welche
> dann die neue Sekante gelegt wird... je nachdem wie der
> Funktionswert f(x) ist, also positiv oder negativ, so muss
> man a oder b durch das x ersetzen, sodass [mm]f(a)\*f(b)[/mm] < 0
> gilt (also f(a) und f(b) müssen unterschiedliche
> Vorzeichen besitzen)
>
> Jetzt meine Frage:
> Wie wähle ich am Anfang mein a und b? Ich meine, wenn ich
> zum Beispiel das Intervall [-2,7] habe, kann ich dann
> einfach a=-2 und b=7 definieren?
Ja, wobei die obige Forderung erfüllt sein muss.
> Danach meine Formel draufwerfen, gucken was mein neuer
> x-Wert ist, dann den Funktionswert prüfen und je nachdem a
> oder b ersetzen durch x?
> Ich mache irgendwas bei diesem Verfahren immer falsch,
> weil ich bei jeder Aufgabe nur die größte Sche*** heraus
> bekomme und das geht mir langsam tieerisch auf die Nerven.
> Hier mal ein Beispiel:
>
> Es sei [mm]f(x)=x^{2}-9[/mm] und das Interfall I=[-2,7] vorgegeben
> in dem die Nullstelle mittels Regula Falsi approximiert
> werden soll...
> Was ich jetzt gemacht habe ist folgendes:
>
> a=-2 f(a)=-5
> b=7 f(b)=40
>
> [mm]x_{0}=-2-\bruch{-2-7}{f(-2)-f(7)}\*f(-2)[/mm] = 2
>
Hier kommt doch [mm]x_{0}=\red{-1}[/mm] heraus.
> f(2) = -5 --> also ersetze a weil beide Funktionswerte
> negativ...
>
> neu:
> a=2 f(a)=-5
> b=7 f(b)=40
>
> nächster schritt:
>
> [mm]x_{1}=2-\bruch{2-7}{f(2)-f(7)}\*f(2)[/mm] = [mm]-\bruch{10}{9}[/mm]
>
> [mm]f(-\bruch{10}{9})=-\bruch{629}{81}[/mm]
> --> also verwerfe wieder das a und ersetze es mit
> [mm]-\bruch{10}{9}[/mm]
>
> usw.
>
> Und das ist absolut falsch was ich hier mache, was mir
> selbst aufgefallen ist! Und zwar stimmt schon der erste
> berechnet x - Wert nicht!!
> Nach der Formel sei ja angeblich der Schnittpunkt mir der
> x-Achse [mm]x_{0}=2[/mm]
> was nicht stimmt! Ich habe es mal zu Fuß ausgerechnet und
> der Schnittpunkt muss bei x=1 liegen!
> Jetzt habe ich danach einfach das ganze noch einmal
> gerechnet und a und b anders gewählt und zwar dass
> a=7 f(a)=40
> b=-2 f(b)=-5
> und jetzt kommt auf einmal nach der Formel der richtige
> Wert raus und
> [mm]x_{0}[/mm] ist auf einmal gleich 1...
> Ich werd noch wahsinnig mit diesem Verfahren, weil ich
> einfach kein Schema erkenne wie ich a und b wählen
> muss...
Berechne [mm]f\left(x_{0}}\right)[/mm].
Falls [mm]f\left(x_{0}}\right)*f\left(a\right)>0[/mm]. setze [mm]a=x_{0}[/mm]
Falls [mm]f\left(x_{0}}\right)*f\left(b\right)>0[/mm]. setze [mm]b=x_{0}[/mm]
Und verfahre dann mit obiger Formel fort.
>
> Wäre wirklich froh wenn mir jemand schnell weiterhelfen
> könnte!
> Danke schon einmal ;)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hey erst einmal danke für die Antwort ;)
Hab mich echt ziemlich verrechnet -.- passiert mir heut irgendwie andauernd und gerade bei solchen Verfahren ist das nicht so gut...
Jetzt trotzdem nocheinmal die Frage:
Ist es grundsätzlich egal wie man sein a und sein b wählt? Es ist mir klar die Funktionswerte müssen halt nur immer einmal positiv und einmal negativ sein, aber wie man sein a und b wählt, ist das vollkommen egal? Habe es hier jetzt noch einmal getestet und beide Male das gleiche herausbekommen...
und noch eine andere Frage: Wenn man jetzt zum Beispiel das Regula-Falsi Verfahren 3mal durchgeführt hat und der letzte berechnete x-Wert nach der Formel z.B. 2,5 ist... gibt man dann als ungefähre Nullstelle einfach das letzte berechnete x also in diesem Beispie 2,5 als approximierte Nullstelle an oder muss man das Intervall des letzten [a;b] angeben... also zum Beispiel [2,5;3]?
Bei dem Bisektionsverfahren gibt man Intervalle an, was auch Sinn macht finde ich, aber wie sieht es in diesem Verfahren hier an? Ist es nicht so das ein Wert sich nie verändert und nur das [mm] x_{j} [/mm] sich alleine der Nullstelle annähert?
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Hallo marvin-92,
> Hey erst einmal danke für die Antwort ;)
> Hab mich echt ziemlich verrechnet -.- passiert mir heut
> irgendwie andauernd und gerade bei solchen Verfahren ist
> das nicht so gut...
>
> Jetzt trotzdem nocheinmal die Frage:
> Ist es grundsätzlich egal wie man sein a und sein b
> wählt? Es ist mir klar die Funktionswerte müssen halt nur
> immer einmal positiv und einmal negativ sein, aber wie man
> sein a und b wählt, ist das vollkommen egal? Habe es hier
> jetzt noch einmal getestet und beide Male das gleiche
> herausbekommen...
Das ist egal wie a und b gewählt werden,
aber so, daß das Produkt der Funktionswerte kleiner 0 ist.
Gruss
MathePower
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Okay... habe gerade als du geantwortet hast noch eine Frage eingefügt... hier ist sie nocheinmal ;)
...noch eine andere Frage: Wenn man jetzt zum Beispiel das Regula-Falsi Verfahren 3mal durchgeführt hat und der letzte berechnete x-Wert nach der Formel z.B. 2,5 ist... gibt man dann als ungefähre Nullstelle einfach das letzte berechnete x also in diesem Beispiel 2,5 als approximierte Nullstelle an oder muss man das Intervall des letzten [a;b] angeben... also zum Beispiel [2,5;3]?
Bei dem Bisektionsverfahren gibt man Intervalle an, was auch Sinn macht finde ich, aber wie sieht es in diesem Verfahren hier aus? Ist es nicht so das ein Wert sich nie verändert und nur das sich alleine der Nullstelle annähert?
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Hallo marvin-92,
> Okay... habe gerade als du geantwortet hast noch eine Frage
> eingefügt... hier ist sie nocheinmal ;)
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> ...noch eine andere Frage: Wenn man jetzt zum Beispiel das
> Regula-Falsi Verfahren 3mal durchgeführt hat und der
> letzte berechnete x-Wert nach der Formel z.B. 2,5 ist...
> gibt man dann als ungefähre Nullstelle einfach das letzte
> berechnete x also in diesem Beispiel 2,5 als approximierte
> Nullstelle an oder muss man das Intervall des letzten [a;b]
> angeben... also zum Beispiel [2,5;3]?
Das hängt davon ab, auf wieviele Stellen nach dem Komma,
die Nullstelle angegeben werden muss.
Ist das nur eine Stelle nach dem Komma,
so reicht unter Umständen die 2,5..
> Bei dem Bisektionsverfahren gibt man Intervalle an, was
> auch Sinn macht finde ich, aber wie sieht es in diesem
> Verfahren hier aus? Ist es nicht so das ein Wert sich nie
> verändert und nur das sich alleine der Nullstelle
> annähert?
Gruss
MathePower
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