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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Di 30.05.2006 | | Autor: | wimath |
Hallo!
Ich hab mal eine allgemeine Frage zu Matrizen.
Wenn ich von einer quadratischen Matrix A weiss, dass [mm] A*e_1 [/mm] = 0 [mm] (e_1 [/mm] ist der 1. Einheitsvektor), kann ich dann daraus schliessen, dass [mm] A*e_i=0 [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n ist?
Vielen Dank im Voraus
wimath
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Nö, das heißt doch nur, daß die erste Spalte nur aus Nullen besteht:
[mm] \pmat{ 0 & a \\ 0 & b } \vektor{1 \\ 0}= \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & a \\ 0 & b } \vektor{0 \\ 1}= \vektor{a \\ b}
[/mm]
Oder was verstehst du unter einer quadratischen Matrix?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Di 30.05.2006 | | Autor: | wimath |
| Aufgabe | Sei f(X)= [mm] X^n+ [/mm] a_(n-1) [mm] X^{n-1}+...+a_0 \in [/mm] K[X] und
Sei [mm] A_f [/mm] := [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 ... & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & 0... & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & 0 ...& 0 & -a_2 \\......\\..........&0 \\ 0 ... ...& 0 & 0... & 1 & -(a_n-1)}
[/mm]
Die Matrix hat also in der letzten Spalte die negativen Koeffizienten des Polynoms und ansonsten nullen bis auf die Spalten mit der dem Index i-1 wobei i die Nummer der Zeile ist (die erste Zeile hat den Index( die "Nummer") 1 und von daher gibt es da keine 1, die zweite hat die "Nummer" 2 also steht dort in der 1. Spalte eine 1 usw.
(i) Benutzen Sie [mm] (A_f)e_i [/mm] = e_(i+1) für 1 [mm] \le [/mm] i < n und [mm] (A_f)e_n [/mm] = [mm] -(a_0)e_1 [/mm] -... - [mm] (a_n-1)e_n [/mm] um [mm] f(A_f)e_1 [/mm] = 0 zu zeigen und folgern Sie daraus [mm] f(A_f)e_i [/mm] = 0 für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n |
Hi! Danke für die Antwort.
Unter einer quadratischen Matrix verstehe ich eine ganz normale nxn Matrix, wie in deinem Beispiel. Das mit dem 1. Spaltenvektor hab ich mir auch gedacht, mehr kann ja eigentlich daraus nicht schliessen, aber dann komme ich bei der obigen Aufgabe nicht weiter, denn da muss ich aus [mm] f(A_f)e_1=0 [/mm]
[mm] f(A_f)e_i=0 [/mm] für alle i schliessen. Hat jemand eine Ahnung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:32 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei f(X)= [mm]X^n+[/mm] a_(n-1) [mm]X^{n-1}+...+a_0 \in[/mm] K[X] und
>
> Sei [mm]A_f[/mm] := [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 ... & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & 0... & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & 0 ...& 0 & -a_2 \\......\\..........&0 \\ 0 ... ...& 0 & 0... & 1 & -(a_n-1)}[/mm]
>
> Die Matrix hat also in der letzten Spalte die negativen
> Koeffizienten des Polynoms und ansonsten nullen bis auf die
> Spalten mit der dem Index i-1 wobei i die Nummer der Zeile
> ist (die erste Zeile hat den Index( die "Nummer") 1 und von
> daher gibt es da keine 1, die zweite hat die "Nummer" 2
> also steht dort in der 1. Spalte eine 1 usw.
>
> (i) Benutzen Sie [mm](A_f)e_i[/mm] = e_(i+1) für 1 [mm]\le[/mm] i < n und
> [mm](A_f)e_n[/mm] = [mm]-(a_0)e_1[/mm] -... - [mm](a_n-1)e_n[/mm] um [mm]f(A_f)e_1[/mm] = 0 zu
> zeigen und folgern Sie daraus [mm]f(A_f)e_i[/mm] = 0 für 1 [mm]\le[/mm] i
> [mm]\le[/mm] n
> Hi! Danke für die Antwort.
> Unter einer quadratischen Matrix verstehe ich eine ganz
> normale nxn Matrix, wie in deinem Beispiel. Das mit dem 1.
> Spaltenvektor hab ich mir auch gedacht, mehr kann ja
> eigentlich daraus nicht schliessen, aber dann komme ich bei
> der obigen Aufgabe nicht weiter, denn da muss ich aus
> [mm]f(A_f)e_1=0[/mm]
> [mm]f(A_f)e_i=0[/mm] für alle i schliessen. Hat jemand eine Ahnung?
Ich vermute mal, dass du das so aehnlich zeigen kannst. Hast du es denn schon fuer [mm] $e_1$ [/mm] gezeigt? Wenn nicht, mach das doch erstmal. Vielleicht faellt dir was auf. Ansonsten skizzier das doch mal wenn du keine Idee bekommst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mi 31.05.2006 | | Autor: | wimath |
Hi Felix! Danke für die Antwort,
den Fall für [mm] e_1 [/mm] hab ich beweisen, aber wie daraus [mm] F(a_f)e_i [/mm] ableiten soll ist mir ein Rätsel..? Ich komme einfach nicht weiter bei dieser Aufgabe, vielleicht sieht jemand sofort was man das machen soll?
Gruss
wimath
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Do 01.06.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo wimath!
Eigentlich ist das gar nicht so schwierig zu sehen:
Wir wissen [mm]f(A_f)e_1=0[/mm] und [mm](A_f)^{i-1}e_1=e_i[/mm]. Dann gilt [mm]f(A_f)e_i=f(A_f)A_f^{i-1}e_1=A_f^{i-1}f(A_f)e_1=A_f^{i-1}0=0[/mm].
Der "Trick" besteht also darin, daß [mm] f(A_f) [/mm] mit [mm] A_f [/mm] kommutiert. (Dies gilt sogar für jede Matrix A, nicht nur für das spezielle [mm] A_f.)
[/mm]
Grüße,
Galois
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