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| Aufgabe | Weisen Sie nach, dass die angegebene Folge gegen Null konvergiert: [mm] a_n=\bruch{1}{n^{k}}
[/mm]
k ? 0 |
Ich begrüße alle im matheraum,
gegen Null konvergieren bedeutet, der Grenzwert der Folge ist Null, das Fragezeichen habe ich mit k > 0 beantwortet, sonst würden die Glieder der Folge nicht gegen Null konvergieren, für k=0 würden alle Glieder gleich 1 sein, für k < 0 würden die Glieder steigen,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{k}} [/mm] = 0
jetzt "sehe" ich doch schon, es ist eine Nullfolge, ist für den Nachweis noch eine Rechnung notwendig?
Danke für Eure Hinweise, Zwinkerlippe
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Hallo Zwinkerlippe!
Ich würde das schon "korrekt" mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] nachweisen:
[mm] $\forall\varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists N\in\IN [/mm] \ : \ [mm] \left|a_n-a\right|<\varepsilon [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n>N$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo
mein Grenzwert ist a=0, versuche ich das [mm] \varepsilon [/mm] -Kriterium,
[mm] |a_n-a|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{n^{k}}-0|<\varepsilon [/mm]
-0 entfällt
[mm] |\bruch{1}{n^{k}}|<\varepsilon [/mm]
der Term [mm] \bruch{1}{n^{k}} [/mm] wird ja beliebig klein, wenn gilt k>0, was mir noch Probleme bereitet, wähle ich mir z. B. [mm] \varepsilon=0,000001, [/mm] habe ich sonst ein Glied der Folge gefunden, das kleiner als 0,000001 ist, jetzt steht aber noch der Exponent k, könntet Ihr mir bitte Hinweise geben, zum Nachweis, dass es eine Nullfolge ist, oder gibt es neben dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] noch andere Möglichkeiten, Ich bedanke mich für Eure Mühen Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Fr 06.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Falls k>0, dann ist [mm] n^k [/mm] monoton wachsend, muss es n geben, so dass [mm] n^{k}>\bruch{1}{\epsilon}, [/mm] oder da alle Terme >0 [mm] \bruch{1}{n^{k}}<\epsilon
[/mm]
Gruß,
dormant
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Danke, k>0 als Bedingung ist mir klar, [mm] \bruch{1}{n^{k}} [/mm] ist monoton fallend ist mir auch klar, worüber ich noch grübel, Angabe eines [mm] \varepsilon [/mm] und dann Glieder der Folge finden, die kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] sind, ich habe ja kein konkretes k.
Oder ist es ausreichend, die zwei Bedingungen anzugeben:
1.) k>0
2.) [mm] n^{k} [/mm] ist monoton wachsend, also [mm] \bruch{1}{n^{k}} [/mm] monoton fallend
Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Fr 06.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ja, das reicht schon, man ist an einer Konstruktion nicht interessiert, man weiß nur, dass es geht.
> Danke, k>0 als Bedingung ist mir klar, [mm]\bruch{1}{n^{k}}[/mm] ist
> monoton wachsend ist mir auch klar,...
Monoton wachsend bedeutet folgendes: zu jeder Konstanten K, gilt ab einem N [mm] n^{k}>K. [/mm] Insbesondere gilt das auch für die Konstante [mm] \bruch{1}{\epsilon}. [/mm] Man könnte weitergehen und dieses N finden, indem man [mm] n^{k}=\bruch{1}{\epsilon}=:K [/mm] nach n auflöst: z.B. die Nullstelle von [mm] n^k-K=0 [/mm] mit dem Newton-Verfahren finden und aufrunden. Das braucht aber kein Mensch zu machen, man ist sicher, dass es so ein N gibt.
Gruß,
dormant
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Danke für Deine Erklärungen
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