Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 So 21.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | [mm] Sei(z_n) n\in \IN [/mm] eine Nullfolge und [mm] (w_n) n\in \IN [/mm] eine beschränkte Zahlenfolge. Beweise, dass dann auch [mm] (z_nw_n) n\in \IN [/mm] eine Nullfolge ist.
|
Meine Ansätze:
habe mir die Eigenschaften einer Nullfolge angeschaut und was es heißt wenn eine Folge beschränkt ist.
Eigenschaften einer Folge:
1. Eine Folge besitzt höchstens einen Grenzwert
2.Eine Nullfolge besitzt den Grenzwert Null
wenn also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}w_n=0 [/mm] ist, dann ist [mm] auch\limes_{n\rightarrow\infty}(z_nw_n) [/mm] = 0
Seien [mm] (z_n) [/mm] und [mm] (w_n) [/mm] zwei Folgen in [mm] \IN, [/mm] und sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_n=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}w_n=b
[/mm]
dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(z_n*w_n)=a*b
[/mm]
Also gibt es noch zu zeigen wie es sich verhält, wenn die beschr.Folge [mm] (w_n) [/mm] einen anderen Grenzwert als 0 hat.
also [mm] b\not=0
[/mm]
ist [mm] b\not0, [/mm] so existiert ein [mm] y\in \IN, [/mm] dass [mm] (w_n)_n\in_N \not=0 [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] y, und [mm] (z_n/w_n)_n_\ge_y [/mm] konvergiert gegen a/b.
Das heisst doch,dass ich jeder andere Grenzwert von [mm] (w_n) [/mm] auch null wäre (a/b wäre doch hier 0/b=0)
wäre damit die Aufgabe gelöst? ich glaube es irgendwie nicht, kann es sein dass ich den Beweis weiterführen muss, wobei dann in jedem Schritt ersichtlich wird dass a/b=0 ist?
oder bin ich völlig auf dem falschen Weg?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 So 21.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]Sei(z_n) n\in \IN[/mm] eine Nullfolge und [mm](w_n) n\in \IN[/mm] eine
> beschränkte Zahlenfolge. Beweise, dass dann auch [mm](z_nw_n) n\in \IN[/mm]
> eine Nullfolge ist.
Du kannst die Grenzwertsätze für Produkte hier nicht anwenden, da [mm] $w_n$ [/mm] zwar beschränkt, aber nicht unbedingt konvergent sein muss. Z.B. ist die Folge [mm] $(-1)^n$ [/mm] beschränkt und nicht konvergent. Du musst hier einfach die Definition des Grenzwertes anwenden, d.h du musst ein [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] finden, sodass für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gilt: [mm] $|z_nw_n-0|<\varepsilon$ [/mm] für [mm] $n>N(\varepsilon)$.
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 So 21.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
ah verstehe,,ok dass werde ich gleichmal in die Tat umsetzen.
vielen Dank und viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 21.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Zu zeigen ist ja, dass [mm] (z_nw_n)_n\in_\IN [/mm] eine Nullfolge bildet.
Voraussetzung hierzu muss erstmal sein, dass [mm] (z_nw_n)_n\in_\IN
[/mm]
einen Grenzwert hat: zu zeigen: es existiert ein [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(z_nw_n)_n\in_\IN
[/mm]
Beweis:
Da [mm] (w_n)_n\in_\IN [/mm] beschränkt ist [mm] \Rightarrow \existsN \in\IN [/mm] mit [mm] |w_n|\le [/mm] N [mm] \forall n\in\IN
[/mm]
Sei c:=N [mm] \forall n\in\IN.
[/mm]
Dann:
[mm] 0\le|z_n*w_n|\le|z_n*c_n|=|z_n*N|\to [/mm] 0*N=0 für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] es existiert ein [mm] limes_{n\rightarrow\infty}(z_n*w_n)=0 [/mm]
und eine Nullfolge hat ja einen Grenzwert von 0.
ist das diesmal richtig?
|
|
|
| |
|
> Zu zeigen ist ja, dass [mm](z_nw_n)_n\in_\IN[/mm] eine Nullfolge
> bildet.
>
>
> Voraussetzung hierzu muss erstmal sein, dass
> [mm](z_nw_n)_n\in_\IN[/mm]
> einen Grenzwert hat: zu zeigen: es existiert ein
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(z_nw_n)_n\in_\IN[/mm]
>
> Beweis:
>
> Da [mm](w_n)_n\in_\IN[/mm] beschränkt ist [mm]\Rightarrow \existsN \in\IN[/mm]
> mit [mm]|w_n|\le[/mm] N [mm]\forall n\in\IN[/mm]
>
> Sei c:=N [mm]\forall n\in\IN.[/mm]
> Dann:
> [mm]0\le|z_n*w_n|\le|z_n*c_n|=|z_n*N|\to[/mm] 0*N=0 für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert ein
> [mm]limes_{n\rightarrow\infty}(z_n*w_n)=0[/mm]
>
> und eine Nullfolge hat ja einen Grenzwert von 0.
>
> ist das diesmal richtig?
Hallo,
ich verstehe ganz gut, was Du mit dem, was Du oben schreibst, sagen willst. Im Verlaufe eines anderen umfangreichen und schwierigen Beweises, wo diese Sache ein kleiner Nebenschauplatz ist, genügt sowas.
Hier aber wirst Du so keinen Blumentopf gewinnen in Übung oder Klausur.
Es geht hier weniger um die zu beweisende Tatsache als darum, den Beweis ordentlich zu führen.
pelzig hat Dir ja schon gesagt, daß Du das mit den [mm] \varepsilon [/mm] Kriterium machen sollst.
Ich rate Dir, auch bei solch kleinen Beweisen alles exakt aufzu schreiben.
Verwende im Zweifelsfalle lieber ein geschriebenes Wort zuviel als dubiose Zeichen.
Wörter sind nichts Unmathematisches.
Nun gucken wir nochmal nach, worum es überhaupt geht.
Zu zeigen:
$ Sei [mm] (z_n) n\in \IN [/mm] $ eine Nullfolge und $ [mm] (w_n) n\in \IN [/mm] $ eine beschränkte Zahlenfolge.
Dann ist auch $ [mm] (z_nw_n) n\in \IN [/mm] $ eine Nullfolge .
Beweis:
Nach Voraussetzung ist [mm] (z_n) n\in \IN [/mm] $ eine Nullfolge .
Das bedeutet: zu jedem [mm] \varepsilon_1>0 [/mm] gibt es ein [mm] N_1(\varepsilon_1) [/mm] so,
daß [mm] |z_n [/mm] - [mm] 0|=|z_n| <\varepsilon_1 [/mm] für alle [mm] n\ge N_1(\varepsilon_1) [/mm] richtig ist.
[mm] (w_n) [/mm] ist nach Voraussetzung beschränkt, dh. es gibt ein [mm] N_2 \in \IR [/mm] mit [mm] |w_n|\le N_2 [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
(Jetzt geht's los mit dem [mm] \varepsilon-Beweis)
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Für alle [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] n\ge N(\varepsilon):=... [/mm] (was hier zu stehen kommt, überlegst Du Dir im Laufe des Beweises, ggf. auf Schmierpapier) gitl:
[mm] |z_nw_n [/mm] - [mm] 0|=|z_nw_n|=|z_n|*|w_n| [/mm] ....
An dieser Stelle klinke ich mich aus. Mah mal weiter, bring die Voraussetzungen ins Spiel. Am Ende muß [mm] ...<\varepsilon [/mm] dastehen, und oben muß ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] eingetragen sein.
Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Nach Voraussetzung ist $ [mm] (z_n) n\in \IN [/mm] $ $ eine Nullfolge .
Das bedeutet: zu jedem $ [mm] \varepsilon_1>0 [/mm] $ gibt es ein $ [mm] N_1(\varepsilon_1) [/mm] $ so,
daß $ [mm] |z_n [/mm] $ - $ [mm] 0|=|z_n| <\varepsilon_1 [/mm] $ für alle $ [mm] n\ge N_1(\varepsilon_1) [/mm] $ richtig ist.
$ [mm] (w_n) [/mm] $ ist nach Voraussetzung beschränkt, dh. es gibt ein $ [mm] N_2 \in \IR [/mm] $ mit $ [mm] |w_n|\le N_2 [/mm] $ für alle $ [mm] n\in \IN. [/mm] $
(Jetzt geht's los mit dem $ [mm] \varepsilon-Beweis) [/mm] $
Sei $ [mm] \varepsilon>0. [/mm] $ Für alle $ [mm] n\in \IN [/mm] $ mit $ [mm] n\ge N(\varepsilon):=0 [/mm] $
es gilt:
[mm] 0|=|z_nw_n|=|z_n|\cdot{}|w_n|<\bruch{\varepsilon}{N}*N=\varepsilon
[/mm]
für alle [mm] n\ge\varepsilon
[/mm]
ich hoffe dass das jetzt richtig ist, ansonsten muss ich noch um einen Tipp bitten...
|
|
|
| |
|
Hallo Feiratos,
> Nach Voraussetzung ist $ [mm](z_n) n\in \IN[/mm] $ $ eine Nullfolge
> .
>
> Das bedeutet: zu jedem [mm]\varepsilon_1>0[/mm] gibt es ein
> [mm]N_1(\varepsilon_1)[/mm] so,
>
> daß [mm] $|z_n-0|=|z_n| <\varepsilon_1$ [/mm] für alle [mm] $n\ge N_1(\varepsilon_1)$ [/mm] richtig ist.
>
>
> [mm](w_n)[/mm] ist nach Voraussetzung beschränkt, dh. es gibt ein
> [mm]N_2 \in \IR[/mm] mit [mm]|w_n|\le N_2[/mm] für alle [mm]n\in \IN.[/mm]
>
>
> (Jetzt geht's los mit dem [mm]\varepsilon-Beweis)[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon>0.[/mm] Für alle [mm]n\in \IN[/mm] mit [mm]n\ge N(\varepsilon):=0[/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") wieso wählst du [mm] $N(\varepsilon)=0$ [/mm] ?
Das wird (mir) mit deiner weiteren Abschätzung nicht klar ...
>
> es gilt:
>
> [mm] $\red{|z_nw_n-}0|=|z_nw_n|=|z_n|\cdot{}|w_n|<\bruch{\varepsilon}{N}*N=\varepsilon$
[/mm]
was ist $N$ ?
Das hast du nirgends definiert ...
>
> für alle [mm]n\ge\varepsilon[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") hier verstehe ich nicht, was du meinst ...
>
> ich hoffe dass das jetzt richtig ist, ansonsten muss ich
> noch um einen Tipp bitten...
[mm] $(z_n)_n$ [/mm] ist ja Nullfolge, du kommst also für hinreichend große n beliebig nahe an 0 (also die x-Achse) ran, zu beliebig vorgegebenem [mm] $\varepsilon$ [/mm] also insbesondere auch näher als [mm] $\frac{\varepsilon}{N_2}$; [/mm] es gibt also ein [mm] $N_1(\varepsilon)$, [/mm] so dass für [mm] $n\ge N_1(\varepsilon)$ [/mm] gilt: [mm] $|z_n-0|=|z_n|<\frac{\varepsilon}{N_2}$ [/mm] ...
Wenn du mit deinem obigen $N$ das [mm] $N_2$ [/mm] meinst, bist du auf einem guten Wege ...
Schreib's aber unbedingt mal in konsistenter Form auf und mache dir nochmal über das gesuchte [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] Gedanken
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:11 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
[mm] (z_n) [/mm] ist eine Nullfolge, d.h. zu jeder Zahl [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] n_0 [/mm] mit [mm] |z_n|<\bruch{\varepsilon}{N}
[/mm]
[mm] (w_n) [/mm] ist beschränkt,d.h. es gibt eine Zahl N mit [mm] |w_n|
es folgt:
zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es die Zahl [mm] n_\varepsilon:= n_0 [/mm] mit [mm] |z_n*w_n|=|z_n|*|w_n|<\bruch{\varepsilon}{N}*N=\varepsilon [/mm]
für alle n [mm] \ge n_\varepsilon [/mm] ..jetzt bin etwas durcheinander:-(
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> [mm](z_n)[/mm] ist eine Nullfolge, d.h. zu jeder Zahl [mm]\varepsilon>0[/mm]
> gibt es ein [mm]n_0[/mm] mit [mm]|z_n|<\bruch{\varepsilon}{N}[/mm]
>
> [mm](w_n)[/mm] ist beschränkt,d.h. es gibt eine Zahl N mit [mm]|w_n|
> für alle [mm]n\ge n_0[/mm]
>
> es folgt:
> zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es die Zahl [mm]n_\varepsilon:= n_0[/mm]
> mit
> [mm]|z_n*w_n|=|z_n|*|w_n|<\bruch{\varepsilon}{N}*N=\varepsilon[/mm]
> für alle n [mm]\ge n_\varepsilon[/mm] ..jetzt bin etwas
> durcheinander:-(
Hallo,
ja.
Ich bekomme allmählich sogar den entsetzlichen Eindruck, daß Dir überhaupt nicht richtig klar ist, was eine Nullfolge und eine beschränke Folge sind...
> [mm](z_n)[/mm] ist eine Nullfolge, d.h. zu jeder Zahl [mm]\varepsilon>0[/mm]
> gibt es ein [mm]n_0[/mm] mit [mm]|z_n|<\bruch{\varepsilon}{N}[/mm]
Was soll denn das hier bedeuten???
So. Bevor Du jetzt noch irgendwas tust, solltest Du Dir mal aufschreiben, wie die Konvergenz einer Folge definiert ist.
Und zwar richtig, nicht irgendwelches Larifari-Zeugs. (Deinem ersten Post nach scheinst Du ja den Sachverhalt verstanden zu haben.)
Du kommst bloß hier (bzw. im Studium) ohne die exakte Kenntnis der Definitionen nicht weit.
> [mm](w_n)[/mm] ist beschränkt,d.h. es gibt eine Zahl N mit [mm]|w_n|
> für alle [mm]n\ge n_0[/mm]
Auch das hier ist etwas schräg. Was macht das [mm] n_0 [/mm] denn hier? Das gilt doch für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Das nächste, was zu tun ist:
Formuliere mal die Aussage [mm] "(z_nw_n) [/mm] konvergiert gegen 0" mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium. [/mm]
Damit Dir mal klar ist, was überhaupt zu zeigen ist.
Hast Du prinzipiell das [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] für Konvergenz eigentlich verstanden?
Erklär es mal in Deinen Worten.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
genau das [mm] \varepsilon [/mm] kriterium ist mein Problem.
Ich verstehe das wahrscheinlich auch falsch.
Mit eigenen Worten ist für mich zur zeit [mm] \varepsilon [/mm] erstmal der Bereich in dem die Folge liegt, ähnlich wie einer Grenze.(tut mir leid aber aber wörtlich übersetzt verstehe ich dass so).
Um die Folge ist eine Grenze(abgeschätzt oder vorgegeben), und dann kommt der Bereich [mm] \varepsilon.
[/mm]
Und Glieder, die sich in dem schmalen Streifen [mm] \varepsilon [/mm] und der Grenze befinden, werden ausgezählt.also alle die hinter der Grenze liegen und im Bereich [mm] \varepsilon
[/mm]
das erstmal zu einer Formulierung mit eigenen Worten.
Dass heisst übertragen auf die Nullfolge, also für mich, dass sich im Bereich [mm] \varepsilon [/mm] kein Folgeglied befindet, und dass ich für die beschränkte Folge [mm] w_n [/mm] diesen [mm] \varepsilon [/mm] untersuchen muss. Und das bedeutet ich muss die Grenzwertdefinition benutzen,und dort ist das [mm] \varepsilon [/mm] verankert,
sind die Ansätz erstmal richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mo 22.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Also die kürzeste und anschaulichste Definition des Grenzwertes ist folgende:
Eine Folge [mm] $a_n$ [/mm] heißt konvergent gegen $a$, wenn jede Umgebung um $a$ fast alle Folgenglieder von [mm] $a_n$ [/mm] enthält.
Wir haben hier zwei Begriffe, die erstmal komisch sind:
1) "Umgebung von $a$": Anschaulich eine Menge, die $a$ enthält und einen (u.U. winzig winzig) kleinen Bereich um $a$.
In unserem Fall ist das einfach ein Intervall [mm] $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$.
[/mm]
2) "fast alle Folgenglieder": Damit meint man "alle Folgenglieder, bis auf höchstens endlich viele".
Stellst du dir die Zahlenfolge also nun auf der Zahlengeraden vor, dann heißt [mm] "$a_n$ [/mm] konvergiert gegen $a$", folgendes: Ganz egal wie klein ich meinen Bereich um $a$ wähle, es liegen immer unendlich viele drinnen und höchstens endlich viele draußen.
Und das ist auch genau das was in der [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] steht, schaun wir uns die mal an:
[mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=a\gdw_{\text{Def.}} \forall\varepsilon>0:\exists N(\varepsilon)\in\IN:\forall n>N(\varepsilon):|a_n-a|<\varepsilon$
[/mm]
D.h. zu jedem (noch so kleinen [mm] $\varepsilon$) [/mm] liegen fast alle Folgenglieder (nämlich alle [mm] $a_n$ [/mm] mit [mm] $n>N(\varepsilon)$, [/mm] das sind tatsächlich alle bis auf endlich viele!) in [mm] $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$, [/mm] denn [mm] $|a_n-a|<\varepsilon\gdw -\varepsilon
Wenn du also zeigen willst, dass eine Folge [mm] $a_n$ [/mm] gegen $a$ konvergiert, musst du also den Ausdruck [mm] $|a_n-a|$ [/mm] beliebig "klein kriegen" und darfst dazu nur $n$ groß machen, d.h. angenommen jemand fragt dich "Wann wird der Fehler zwischen [mm] $a_n$ [/mm] und $a$ (das ist ja genau [mm] $|a_n-a|$) [/mm] kleiner als $2$?" kannst du ihm sagen "ab dem 10.000 Folgenglied". Fragt er "Wann wird der Fehler kleiner als [mm] $10^{-81}$?" [/mm] Kannst du ihm sagen "ab dem [mm] $10^{123466}$-ten [/mm] Folgenglied" usw.
Und eine Nullfolge ist nichts weiter als eine Folge, die gegen $0$ konvergiert.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
vielen Dank erstmal für die Antworten.
Ich habe mit dem Thema der Folgen und was damit zusammenhängt sehr starke Probleme.
Ich schreibe das mal so auf, wie ich das verstehe und dazu gleich meine Fragen.
[mm] a_n [/mm] ist eine Folge und a enthält fast alle Folgeglieder von [mm] a_n.
[/mm]
dann gibt es um diesen Bereich a, im Prinzip noch einen Bereich drumherum, welcher hier das Intervall $ [mm] (a-\varepsilon,a+\varepsilon) [/mm] $ ist.
und bei einer Konvergenz liegen unendliche viele Folgeglieder in den eben erwähnten Intervall,und höchstens endlich viele ausserhalb.
Meine erste Frage hierzu: wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, und unendlich viele Folgeglieder ausserhalb liegen, ist es dann also keine Konvergenz?
Dann habe ich noch immer Probleme mit dem [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also die Definition $ [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=a\gdw_{\text{Def.}} \forall\varepsilon>0:\exists N(\varepsilon)\in\IN:\forall n>N(\varepsilon):|a_n-a|<\varepsilon [/mm] $
bedeutet für mich, dass der Grenzwert von [mm] a_n [/mm] =a ist und
das a entsteht aus der Definition [mm] \forall\varepsilon>0:\exists N(\varepsilon)\in\IN:\forall n>N(\varepsilon):|a_n-a|<\varepsilon
[/mm]
und diese bedeutet dass für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 gilt : es gibt eine [mm] Grenze(N(\varepsilon))im [/mm] Bereich der natürlichen Zahlen, und für alle n die größer als diese Grenze sind gilt: [mm] |a_n-a|<\varepsilon
[/mm]
und wenn ich dass auf meine Aufgabe beziehe
müsste ich also für [mm] (w_n)_n_\in_\IN [/mm] die Konvergenz nachweisen, und dann könnte ich die Produktregel von den Folgen anwenden.(darf ich ja wenn ich
nachgewiesen habe, dass diese beiden Folgen konvergent sind)
also : zu zeigen :
(1) $ [mm] \lim_{n\to\infty}w_n=b\gdw_{\text{Def.}} \forall\varepsilon>0:\exists N(\varepsilon)\in\IN:\forall n>N(\varepsilon):|w_n-b|<\varepsilon [/mm] $
(2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_n=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}w_n=b
[/mm]
zu zeigen : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(z_n*w_n)=a*b
[/mm]
Kann ich in diesen beiden Schritten diese Aufgabe durchgehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vielleicht schaust Du Dir ja auch mal ![[]](/images/popup.gif) diesen Link an. Das sieht für mich zwar teilweise schon wieder fast wie in der Schule aus, aber das muss ja nicht negativ sein. Vorteilhaft sind dabei vll. manche Bildchen, wobei Du nicht darum herumkommen wirst, die Definitionen/Aussagen zu verstehen. Die Sache ist nur: Entweder Du verstehst es direkt und kannst damit auch die Bildchen deuten/erklären. So gehe ich eher vor...
Oder, weil bei Dir wohl manche Sachen unklar sind: Ich hoffe, dass die Bildchen Dir helfen, die Definition zu verinnerlichen. Im Laufe Deines Studiums wird sicher anfangs die letzte Variante überwiegen und am Ende des Studiums wird's eher so sein, dass Du, mit der gelernten Mathematik, eher die Bilder erklärt (wenn man denn mal welche benutzen möchte).
Also ich tippe darauf:
Am Anfang des Studiums werden Dir vll. manche Bilder helfen, die Mathematik zu verstehen / zu erklären. Im Laufe des Studiums wird sich das dann wahrscheinlich so ändern, dass Du, wenn denn mal Bilder auftauchen, Du dann mithilfe der Mathematik erklärst, was und warum man da manche Sachen sieht 
P.S.:
Vielleicht noch zwei vier ( ich habe offensichtlich das Zählen verlernt ) Sachen zur Konvergenz einer Folge [mm] $(a_n)_n$:
[/mm]
In Kurzform:
Eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] heißt konvergent, falls es ein [mm] $\black{a}$ [/mm] so gibt, dass:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt: [mm] $|a_n-a|<\varepsilon$. $\black{a}$ [/mm] heißt dann Grenzwert der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und man schreibt [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n:=a$.
[/mm]
Wichtig dabei sind folgende Feststellungen:
1.) Aus dieser Definition geht noch nicht hervor, dass [mm] $\black{a}$ [/mm] eindeutig sein muss. [mm] $\IR$ [/mm] ausgestattet mit [mm] $\black{|.|}$ [/mm] ist allerdings ein metrischer Raum, und daher hat man bei Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] die Eindeutigkeit des Grenzwertes (das kann man beweisen, wenn Du magst, führe ich es vor).
2.) Bei Folgen in [mm] $\IR$, $\IC$ [/mm] (mit der Metrik, die vom Betrag kommt) ist der Grenzwert einer konvergenten Folge dann eindeutig. Wichtig ist allerdings: Wenn man eine konvergente Folge hat und sich [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vorgibt und dann ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] gefunden hat, so ist das nicht das einzige. Denn klar:
Wenn [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$, dann gilt auch [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] M$, wenn wir $M [mm] \in \IN$ [/mm] mit $M [mm] \ge [/mm] N$ wählen.
3.) Bitte beachte: In der Definiton steht, dass man zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$ [/mm] finden können muss. Das $N$ ist dabei i.a. von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängig (diese Bedeutung ordnet man der Gleichung [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] zu).
Das "Verkleinern" des [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ führt dann meist zu einem "Vergrößern" des (gefundenen) [mm] $N_\varepsilon$, [/mm] aber das Beispiel einer konstanten Folge zeigt, dass das keineswegs zwingend ist. Denn ist [mm] $a_n=c$ [/mm] für alle $n$, so setzt man einfach zu gegebenem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ dann $N=1$, und dann gilt:
[mm] $|a_n-c|=0 [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 1$.
Selbstverständlich kann man bei einer konstanten Folge aber auch $N=5$ oder $N=10000$ wählen, oder gar [mm] $N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$, [/mm] wobei $[.]$ die Gaußklammer bezeichne.
4.) Eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] heißt divergent oder nicht konvergent, falls folgendes gilt:
Für jedes [mm] $\black{r}$ [/mm] existiert ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon_r [/mm] > 0$ (das heißt, dass das [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ i.a. von [mm] $\black{r}$ [/mm] abhängt), so dass gilt:
Für jedes $N [mm] \in \IN$ [/mm] existiert ein [mm] $N^{(1)} [/mm] > N$ mit [mm] $|a_{N^{(1)}}-r| \ge \varepsilon$.
[/mm]
(In Worten: Zu jedem [mm] $\black{r}$ [/mm] findet man (mindestens) eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $\black{r}$, [/mm] so dass unendlich viele Folgenglieder nicht in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $\black{r}$ [/mm] liegen. In Wahrheit findet man also bei einer divergenten Folge zu jedem [mm] $\black{r}$ [/mm] sogar unendlich viele derartige Umgebungen, denn wenn ich eine [mm] $\varepsilon^{(1)}_r$-Umgebung [/mm] so gefunden habe, finde ich eine weitere, indem ich einfach [mm] $\varepsilon^{(2)}=\varepsilon_r^{(2)}$ [/mm] mit $0 < [mm] \varepsilon^{(2)}_r [/mm] < [mm] \varepsilon_r^{(1)}$ [/mm] wähle.)
Mache Dir vielleicht klar, dass das genau die Verneinung ist von:
Es existiert ein [mm] $\black{a}$, [/mm] so dass gilt:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt: [mm] $|a_n-a|<\varepsilon$. [/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Vielen Dank für deinen Tipp, dass wird mir sicher helfen.
Viele Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deinen Tipp, dass wird mir sicher helfen.
ich hoffe es  . Ich habe übrigens noch ein paar Bemerkungen zum Begriff einer "konvergenten Folge" dazugeschrieben. Die solltest Du Dir durchaus klarmachen. Wobei es sein kann, dass die Bemerkung mit der Eindeutigkeit des Grenzwertes schon zu weit geht, weil ihr vll. vorerst nur Folgen in [mm] $\IR$, $\IC$ [/mm] betrachtet... Notfalls frag' halt nochmal nach.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Feiratos,
> Hallo,
>
> vielen Dank erstmal für die Antworten.
> Ich habe mit dem Thema der Folgen und was damit
> zusammenhängt sehr starke Probleme.
>
> Ich schreibe das mal so auf, wie ich das verstehe und dazu
> gleich meine Fragen.
>
> [mm]a_n[/mm] ist eine Folge und a enthält fast alle Folgeglieder von
> [mm]a_n.[/mm]
was genau meinst du damit? a ist doch eine reelle Zahl ...
> dann gibt es um diesen Bereich a, im Prinzip noch einen
> Bereich drumherum, welcher hier das Intervall
> [mm](a-\varepsilon,a+\varepsilon)[/mm] ist.
> und bei einer Konvergenz liegen unendliche viele
> Folgeglieder in den eben erwähnten Intervall,und höchstens
> endlich viele ausserhalb.
und zwar für beliebig kleines [mm] \varepsilon, [/mm] also kannst du um den GW a ein beliebig kleines Intervall legen, das fast alle (also alle ab einem gewissen [mm] n_0) [/mm] weiteren Folgenglieder entält. I.A.: je kleiner das [mm] \varepsilon, [/mm] desto größer wird das [mm] n_0 [/mm] werden.
> Meine erste Frage hierzu: wenn diese Bedingung nicht
> erfüllt ist, und unendlich viele Folgeglieder ausserhalb
> liegen, ist es dann also keine Konvergenz?
Ja, dann liegt keine Konvergnz vor
> Dann habe ich noch immer Probleme mit dem [mm]\varepsilon.[/mm]
> Also die Definition
> [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=a\gdw_{\text{Def.}} \forall\varepsilon>0:\exists N(\varepsilon)\in\IN:\forall n>N(\varepsilon):|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
> bedeutet für mich, dass der Grenzwert von [mm]a_n[/mm] =a ist und
> das a entsteht aus der Definition
> [mm]\forall\varepsilon>0:\exists N(\varepsilon)\in\IN:\forall n>N(\varepsilon):|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
>
> und diese bedeutet dass für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gilt : es
> gibt eine [mm]Grenze(N(\varepsilon))im[/mm] Bereich der natürlichen
> Zahlen, und für alle n die größer als diese Grenze sind
> gilt: [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
>
> und wenn ich dass auf meine Aufgabe beziehe
>
> müsste ich also für [mm](w_n)_n_\in_\IN[/mm] die Konvergenz
> nachweisen, und dann könnte ich die Produktregel von den
> Folgen anwenden.(darf ich ja wenn ich
> nachgewiesen habe, dass diese beiden Folgen konvergent
> sind)
>
> also : zu zeigen :
>
> (1) [mm]\lim_{n\to\infty}w_n=b\gdw_{\text{Def.}} \forall\varepsilon>0:\exists N(\varepsilon)\in\IN:\forall n>N(\varepsilon):|w_n-b|<\varepsilon[/mm]
>
> (2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_n=a[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}w_n=b[/mm]
>
> zu zeigen : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(z_n*w_n)=a*b[/mm]
>
> Kann ich in diesen beiden Schritten diese Aufgabe
> durchgehen?
Nein!
Das Problem ist, dass du von deiner Folge [mm] $(w_n)_n$ [/mm] nur weißt, dass sie beschränkt ist, sie muss keinesfalls konvergent sein.
Schaue dir zB [mm] $(w_n)_n=\left((-1)^n\right)_n$ [/mm] an. Die ist offensichtlich beschränkt, denn für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist [mm] $|w_n|\le [/mm] 1$ oder [mm] $\le [/mm] 100$ von mir aus
Folgen sind ja nichts anderes als Abbildungen von [mm] $\IN\to\IR$ [/mm] (oder auch [mm] $\IN\to\IC$)
[/mm]
Nehmen wir als Bsp. mal die "einfache" Nullfolge [mm] $(z_n)_n=\left(\frac{1}{n}\right)_n$
[/mm]
Konvergenz gegen a=0 bedeutet "geometrisch":
Du kannst um die x-Achse einen beliebig schmalen Schlauch bzw. ein Band legen (der Breite [mm] 2\varepsilon) [/mm] <-- das entspricht dem obigen Intervall [mm] $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ [/mm] - das ist ein Intervall auf der y-Achse !! - , dh. hier mit a=0 also dem Intervall [mm] $(-\varepsilon,\varepsilon)$, [/mm] also Breite [mm] 2\varepsilon
[/mm]
Zu diesem beliebig schmalen Schlauch kannst du also bei Konvergenz ein (möglicherweise ziemlich großes) [mm] n_0 [/mm] finden, so dass alle weiteren Folgenglieder in diesem Schlauch eingezwängt liegen, also [mm] $\exists n_0\forall n\ge n_0: |z_n-0|=|z_n|<\varepsilon$ [/mm]
Mal dir das mal für dieses Bsp. auf:
Zeichne ein Koordinatensystem, nimm [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2}$ [/mm] und zeichne mal dieses Band ein.
Dann trage einige Folgenglieder ein, du wirst sehen, dass ab einem gewissen [mm] n_0 [/mm] alle weiteren Folgenglieder in diesem [mm] $\varepsilon$-Schlauch [/mm] liegen.
Ich hoffe, das hilft deiner Vorstellung von Konvergenz ein wenig
Für den Beweis deiner Aufgabe solltest du dir ein beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vorgeben
Dann weißt du, da [mm] $(z_n)_n$ [/mm] Nullfolge ist, dass es ein [mm] $n_1$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $n\ge n_1$ [/mm] gilt: [mm] $|z_n-0|=|z_n|<\frac{\varepsilon}{n_2}$, [/mm] wobei [mm] $n_2$ [/mm] die (eine) Schranke für deine beschränkte Folge [mm] $(w_n)_n$ [/mm] ist
Wegen der Konvergenz von [mm] $(z_n)_n$ [/mm] bekommst du ja die Folgenglieder in einen beliebig schmalen Schlauch gequetscht, also zB. [mm] $|z_n|<\frac{\varepsilon}{10}$ [/mm] oder halt, weil man's hier benötigt [mm] $|z_n|<\frac{\varepsilon}{n_2}$
[/mm]
Nun musst du es nur noch etwas wirken und sacken lassen, dann schaffst du es ganz sicher, den Rest zusammenzubasteln
LG + viel Erfolg dabei!
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Vielen Dank, ich werde heut abend alles nochmal durchgehen, und noch das empfohlene Skript vom Marcel durcharbeiten.
Dann klappts ja bestimmt.
viele Grüße und nochmals Danke an Alle !
|
|
|
|
