Nullfolge < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 29.10.2008 | | Autor: | nuup1704 |
Guten Tag an alle!
Ich versuche gerade zu zeigen, dass der Raum der Nullfolgen mit der Supremumsnorm ein Banachraum ist und bleibe irgendwie hängen:
[mm] c_{0}=\{(x_{k}) \in \IR;c_{k} \to 0 , k\to \infty\}
[/mm]
Es sei nun [mm] (x_{k})^j [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] c_{0} [/mm] dann gibt es ein [mm] n_{0} [/mm] so dass [mm] \parallel{(x_{k})^m-(x_{k})^l}\parallel \le \varepsilon [/mm] für [mm] l,m\ge n_{0} [/mm] für ein [mm] \varepsilon \ge [/mm] 0.
Nun ist für jedes [mm] i\in\IN [/mm] die Folge [mm] (x_{i})^j [/mm] eine in [mm] \IR [/mm] konvergente Nullfolge.
Das heißt [mm] |(x_{i})^j|\le\varepsilon [/mm] für [mm] j\ge N\in\IN.
[/mm]
Es gebe nun eine Folge [mm] (x_{k}) [/mm] mit [mm] (x_{k})^j \to (x_{k}) [/mm] wobei diese zunächst beliebig ist. Zu zeigen ist dass [mm] (x_{k}) [/mm] eine Nullfolge ist. Also in [mm] c_{0}.
[/mm]
[mm] |x_{k}|\le\parallel{(x_{k})}\parallel=...
[/mm]
Ich denke jezt müsste ich mit der Dreiecksungleichung rumspielen, allerdings weiß ich dennoch nicht so ganz weiter.
Habt ihr nen tipp?
Ein nuup
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Mi 29.10.2008 | | Autor: | nuup1704 |
Guten Tag
Könnte ich zumindest einen Tipp kriegen?
Vielen dank und schönen abend
ein nuup
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Tag an alle!
>
> Ich versuche gerade zu zeigen, dass der Raum der Nullfolgen
> mit der Supremumsnorm ein Banachraum ist und bleibe
> irgendwie hängen:
> [mm]c_{0}=\{(x_{k})_{k \in \IN} \in \blue{\IR^\IN};\blue{x}_{k} \to 0 , k\to \infty\}[/mm]
> Es
> sei nun [mm](x_{k})^j[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]c_{0}[/mm] dann gibt es
> ein [mm]n_{0}[/mm] so dass [mm]\parallel{(x_{k})^m-(x_{k})^l}\parallel \le \varepsilon[/mm]
> für [mm]l,m\ge n_{0}[/mm] für ein [mm]\varepsilon \red{\ge}[/mm]0.
Achtung: [mm] $\varepsilon \blue{>} [/mm] 0$.
> Nun ist für jedes [mm]i\in\IN[/mm] die Folge [mm](x_{i})^j[/mm] eine in [mm]\IR[/mm]
> konvergente Nullfolge.
> Das heißt [mm]|(x_{i})^j|\le\varepsilon[/mm] für [mm]j\ge N\in\IN.[/mm]
> Es
> gebe nun eine Folge [mm](x_{k})[/mm] mit [mm](x_{k})^j \to (x_{k})[/mm] wobei
> diese zunächst beliebig ist. Zu zeigen ist dass [mm](x_{k})[/mm]
> eine Nullfolge ist. Also in [mm]c_{0}.[/mm]
> [mm]|x_{k}|\le\parallel{(x_{k})}\parallel=...[/mm]
> Ich denke jezt müsste ich mit der Dreiecksungleichung
> rumspielen, allerdings weiß ich dennoch nicht so ganz
> weiter.
Naja, Du verwirrst (zumindest mich) ein wenig. Ich benutze mal Deine Notationen mit kleinen Abänderungen, die ich zum besseren Verständnis/für einen besseren Überblick für sinnvoll halte:
[mm] $c_0$ [/mm] sei wie oben, [mm] $(x^{j})_{j \in \IN}$ [/mm] schreiben wir für eine Folge in [mm] $c_0$, [/mm] also ist für jedes [mm] $\black{j}$ [/mm] dann [mm] $x^j$ [/mm] eine Nullfolge (in [mm] $\IR$). [/mm] Um daran zu erinnern, dass für jedes $j$ hier [mm] $x^j$ [/mm] eine Folge ist, schreibt man z.B.:
[mm] $$x^j=(x_i^{j})_{i \in \IN}\,.$$
[/mm]
So, und jetzt hat man ja zu zeigen, dass eine jede Cauchyfolge [mm] $(x^j)_{j\in \IN}$ [/mm] aus [mm] $c_0$ [/mm] gegen eine Folge $x [mm] \in c_0$ [/mm] (bzgl. der Supremumsnorm) konvergiert. Also zu zeigen:
Ist [mm] $(x^j)_j$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $c_0$, [/mm] so existiert ein [mm] $x=(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,$ [/mm] und so, dass [mm] $\|x^j-x\| \underset{j \to \infty}{\longrightarrow} 0\,.$
[/mm]
Dazu gibt man sich zunächst ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, vor. Nun machst Du oben aber einen Fehler:
> Nun ist für jedes $ [mm] i\in\IN [/mm] $ die Folge $ [mm] (x_{i})^j [/mm] $ eine in $ [mm] \IR [/mm] $
> konvergente Nullfolge.
Nein, Du darfst nicht von Nullfolge sprechen. Du weißt folgendes:
Für jedes $i [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $(x_i^k)_{k \in \IN}$ [/mm] eine in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folge. Dies erkennt man wie folgt:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so existiert, weil [mm] $(x^j)_{j \in \IN}$ [/mm] nach Voraussetzung eine Cauchyfolge in [mm] $c_0$ [/mm] ist, zu diesem [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$ [/mm] so, dass für alle $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $m,n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $$\|x^m-x^n\|\le \varepsilon\,.$$
[/mm]
Nach Definition von [mm] $\|.\|$ [/mm] folgt aber für festes $i [mm] \in \IN$ [/mm] damit:
[mm] $$|x_i^m-x_i^n| \le \|x^m-x^n\| \le \varepsilon$$
[/mm]
für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$. Folglich ist (für festes $i [mm] \in \IN$) [/mm] die Folge [mm] $(x_i^k)_{k \in \IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $\IR$. [/mm] Weil [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist, konvergiert daher [mm] $(x_i^k)_{k \in \IN}$. [/mm] Für jedes $i [mm] \in \IN$ [/mm] können wir daher definieren:
[mm] $$x_i:=\lim_{k \to \infty}x_i^k\,.$$
[/mm]
So erhalten wir nun eine Folge [mm] $x=(x_k)_{k \in \IN}$. [/mm] Und diese Folge ist nun unser Grenzwertkandidat für die in [mm] $c_0$ [/mm] gelegene Cauchyfolge [mm] $(x^j)_{j \in \IN}\,.$
[/mm]
Und nun sind noch zwei Dinge zu zeigen. Nämlich, dass für diese so definierte Folge $x$ auch gilt:
1.) [mm] $\|x^j [/mm] - [mm] x\| \to [/mm] 0$ bei $j [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
2.) $x [mm] \in c_0$, [/mm] also: [mm] $x=(x_k)_{k \in \IN}$ [/mm] ist eine Nullfolge, also zu zeigen ist hier auch noch:
[mm] $$\lim_{k \to \infty}x_k=0\,.$$
[/mm]
Das kannst Du ja nun mal weiterdenken...
P.S.:
Ein guter Buchtipp: Dirk Werner, Funktionalanalysis.
![[]](/images/popup.gif) zum reinschnuppern: Google Books
Direkt am Anfang finden sich ähnliche Ausführungen
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Do 30.10.2008 | | Autor: | nuup1704 |
Hallo Marcel!
Danke für deine Ausführungen, werde jetzt mal schauen was sich daraus machen lässt.
Ein nuup
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