Nullfolgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Di 16.11.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo nochmal!
an, bn sind nun Nullfolgen mit positiven Gliedern. Ist (an²+ bn²)/(an+ bn)
eine Nullfolge.
Da an²+ bn² als auch an+ bn gegen Null konvergieren ist noch die Frage zu klären, ob die Nennerfolge im Grenzübergang wegen Division dr. 0 Probleme bereitet:
Insbesondere gilt ja: es exist. ein [mm] \varepsilon= [/mm] 1:
an< 1 und bn< 1 für alle n> N(1)
also wegen der Monotoniegesetze und der positiven Glieder:
an²< an und bn²< bn für alle n> N(1)
Also konvergiert die Zählerfolge schneller gegen Null, was die obige Frage klärt, oder ?
Bitte meldet euch, falls ich was total übersehen haben sollte oder komplett falsch liege!
Danke,
Nilez
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Nilez!
> Hallo nochmal!
> an, bn sind nun Nullfolgen mit positiven Gliedern. Ist
> (an²+ bn²)/(an+ bn)
> eine Nullfolge.
...
> also wegen der Monotoniegesetze und der positiven
> Glieder:
> an²< an und bn²< bn für alle n> N(1)
>
> Also konvergiert die Zählerfolge schneller gegen Null, was
> die obige Frage klärt, oder ?
Wenn du konkretisieren würdest, was "schneller" heißt, macht die Aussage vielleicht Sinn. Aber dass der Zähler kleiner ist als der Nenner ist (das hast du ja gezeigt), ist noch kein hinreichendes Kriterium dafür, dass es sich um eine Nullfolge handelt. Zum Beispiel ist in der Folge [mm] a_{n} [/mm] mit
[mm] a_{n}= \bruch{1/(n+1)}{1/n}
[/mm]
der Zähler immer kleiner als der Nenner und beide (Zähler und Nenner) konvergieren gegen 0. Trotzdem ist der Grenzwert a ungleich 0.
Man kann es aber folgendermaßen zeigen:
[mm] c_{n}:= \bruch{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{a_{n} + b_{n}}
[/mm]
[mm] c1_{n}:= \bruch{a_{n}^{2}}{a_{n} + b_{n}}
[/mm]
[mm] c2_{n}:= \bruch{b_{n}^{2}}{a_{n} + b_{n}}
[/mm]
[mm] c_{n}=c1_{n}+c2_{n}
[/mm]
Zu den beiden Folgen c1 und c2:
[mm] c1_{n}=\bruch{a_{n}^{2}}{a_{n} + b_{n}}
[/mm]
< [mm] \bruch{a_{n}^{2}}{a_{n}}
[/mm]
= [mm] a_{n}
[/mm]
Damit konvergiert [mm] c1_{n} [/mm] gegen 0.
Analog dazu konvergiert [mm] c2_{n} [/mm] gegen 0 und damit auch [mm] c_{n}.
[/mm]
Gruß
Clemens
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