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| Aufgabe | | Sei [mm] Q\in \matcal{Q} [/mm] ein Quader und f: [mm] Q\rightarrow \IR [/mm] stetig mit [mm] \integral{|f| dx}=0. [/mm] Zeigen Sie, dass f die Nullfunktion ist. |
Idee:
Angenommen [mm] \exists x_0 \in [/mm] Q mit [mm] |f(x_0)|>0.
[/mm]
Weil f stetig ist folgt: [mm] \exists [/mm] a,b [mm] \in [/mm] Q: [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] [mm] \subset [/mm] Q.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] t>0 derart, dass [mm] \forall [/mm] x' [mm] \in B_t [/mm] (x'): f(x')>0.
[mm] \Rightarrow \integral_{B_t (x')}{f(t) dt}>0 \integral{f(x) dx} \ge\integral_{B_t (x')}{f(t) dt}>0 \Rightarrow \integral{f(x) dx} [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch
[mm] \Rightarrow \not\exists x_0 \in [/mm] Q: [mm] |f(x_0)|>0 \Rightarrow [/mm] Behauptung [mm] \Box
[/mm]
Ist das okay?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Fr 30.05.2014 | | Autor: | hippias |
Deine Idee scheint richtig zu sein. Sie ist aber ganz schlecht dargelegt.
> Sei [mm]Q\in \matcal{Q}[/mm] ein Quader und f: [mm]Q\rightarrow \IR[/mm]
> stetig mit [mm]\integral{|f| dx}=0.[/mm] Zeigen Sie, dass f die
> Nullfunktion ist.
> Idee:
>
> Angenommen [mm]\exists x_0 \in[/mm] Q mit [mm]|f(x_0)|>0.[/mm]
>
> Weil f stetig ist folgt: [mm]\exists[/mm] a,b [mm]\in[/mm] Q: [mm]x_0 \in[/mm] [a,b]
> [mm]\subset[/mm] Q.
Dass [mm] $x_{0}$ [/mm] in einem abgeschl. Intervall liegt, welches seinerseits in $Q$ enthalten ist, hat nicht mit der Stetigkeit von $f$ zu tun.Im uebrigen ist das auch voellig trivial: waehle [mm] $a:=x_{0}=:b$.
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] t>0 derart, dass [mm]\forall[/mm] x' [mm]\in B_t[/mm] (x'):
Das meinst Du bestimmt nicht. Ausserdem: was soll das mit dem Intervall zu tun haben?
> f(x')>0.
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{B_t (x')}{f(t) dt}>0 \integral{f(x) dx} \ge\integral_{B_t (x')}{f(t) dt}>0 \Rightarrow \integral{f(x) dx}[/mm]
> > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch
>
> [mm]\Rightarrow \not\exists x_0 \in[/mm] Q: [mm]|f(x_0)|>0 \Rightarrow[/mm]
> Behauptung [mm]\Box[/mm]
Richtig ist: Aufgrund der Stetigkeit gibt es eine Umgebung von [mm] $x_{0}$, [/mm] auf der $|f|>0$ ist. Damit laesst sich das Integral nach unten als $>0$ abschaetzen; Widerspruch.
>
> Ist das okay?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mo 02.06.2014 | | Autor: | Schuricht |
Bitte dann aber auch konkret sagen, was falsch ist. Aus der ANtwort kann ich mir nichts nehmen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Mo 02.06.2014 | | Autor: | hippias |
Die Kritikpunkte habe ich benannt: dein Ansatz scheint richtig zu sein, aber die Ausfuehrung laesst zu wuenschen uebrig. Mein Vorschlag ist, dass Du die genannten Stellen ueberarbeitest und gegebenenfalls nocheinmal nachfragst.
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