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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 So 10.10.2004 | | Autor: | Mathmark |
Servus Mathe-Fans !!!
Ich habe bis heute ein Verständnisproblem mit der Unendlichkeit.
Laut Definition gilt:
[mm] $\bruch{1}{9}=0,11\overline{1}$ [/mm] beide Seiten mit Neun multipliziert ergibt:
[mm] $1=0,99\overline{9}$.
[/mm]
Dieser Nachweis über die Gleichheit der beiden Seiten lässt mich nicht los.
Stellt Euch z.B. den Koordinatenursprung vor.
Die Koordinaten lauten $P(0/0)$.
Was hat aber der Punkt, der sich unmittelbar neben dem Ursprung befindet (auf der positiven x-Achse) für Koordinaten ?
Nach meiner Meinung müsste es der Punkt [mm] $P(1-0,99\overline{9}/0)$ [/mm] sein.
Theoretisch ist mir schon klar, dass es im Bereich der reellen Zahlen zwischen zwei noch so kleinen Zahlen sich immernoch eine Zahl befindet.
Aber was ist mit der Tatsache, dass wenn [mm] $0,99\overline{9}=1$ [/mm] ist und Eins ja bekanntlich ein Element der natürlichen Zahlen ist, führte das nicht zum Widerspruch, da [mm] $0,99\overline{9}$ [/mm] im Bereich der natürlichen Zahlen gar nicht existiert ?
Würde man nun [mm] $0,99\overline{9}$ [/mm] immer mit sich selbst addieren, so würde letztenendes die Diskrepanz im Vergleich zur Eins immer größer. Bei einer Summation bis ins unendliche gäbe es dann eine unendliche Differenz !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 So 10.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Mark
also insofern du den beweis akzeptierst, dass [m] 0, \overline{9} = 1 [/m], existiert die zahl [m] 0,\overline{9} [/m] im bereich der natürlichen zahlen, da sie ja gleich $1$ ist. damit ist aber der von dir angegeben punkt [m] (1 - 0, \overline{9} | 0 ) = (0 | 0) [/m] aber auch wieder gelich dem koordinaten ursprung und die argumentation mit dem abstand zwischen [m] 1 [/m] und [m] 0,\overline{9} [/m] gegenstandslos, da dieser abstand [m] | 1 - 0,\overline{9} | = |1 - 1| = |0| = 0 [/m] dann null ist.
mir ist aus deiner frage also nicht ganz klar, ob dir die oben erwähnte gleichheit nicht klar ist, oder was genau deine frage ist. vielleicht kannst du das ja nochmal etwas präzisieren!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Mathmark |
Servus alle mitenand !!!
Also nochmals: Mir ist schon klar, dass [mm] $0,99\overline{9}=1$ [/mm] ist (aufgrund des Nachweises).
Das Problem ist, dass theoretisch jede Zahl im Bereich der reellen Zahlen eindeutig bestimmt ist. Die Zahl [mm] $0,99\overline{9}$ [/mm] ist ein Resultat aus einer Rechnung mit rationalen Zahlen, was dadurch die natürlichen Zahlen nicht mehr berücksichtigt. Nehmen wir einmal die Definition:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=0,99\overline{9}=1$
[/mm]
Verbleiben wir aber beim Ergebniss [mm] $0,99\overline{9}$ [/mm] .
Weiterhin sei
[mm] $2\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=2\cdot 0,99\overline{9}$,
[/mm]
Dann folgt
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}$
[/mm]
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{9}{10^n}+\bruch{9}{10^n}\right)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{18}{10^n}=1,99\overline{9}$
[/mm]
Betrachtet man die einzelnen Summationsglieder, sieht man, dass die "letzte" Zahl immer eine Acht ist $(1,8+0,18+0,018.....usw)$
Die Diskrepanz am "Ende" wird bei erhöhter Summation also immer grösser. Beispiel:
[mm] $99\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=99\cdot 0,99\overline{9}$
[/mm]
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{99\cdot 9}{10^n}\right)$
[/mm]
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{891}{10^n}\right)=98,99...$
[/mm]
Wobei ich an dieser Stelle die Periodenschreibweise vermieden habe.
Die Summationsglieder sehen wie folgt aus :
$(89,1+8,91+0,891+0,0891...$usw$)$.
Die "letzten" beiden Zahlen sind hier Null und Eins. $(98,99...01)$
Es kann folglich nicht das gleiche sein wie Eins (außer man geht davon aus, dass [mm] $0,99\overline{9}=1$ [/mm] ist)!!!
MfG Mathmark
P.S. Die kürzester Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade !?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Mathmark!
Du operierst hier mit Grenzwerten. Die unendlichen Reihen sind Grenzwerte von Summen. Wie weit die einzelnen Summen vom Grenzwert entfernt sind, spielt keine Rolle, wichtig ist allein der Grenzwert selbst, denn dessen Wert ist die dargestellte reelle Zahl.
Es gilt ja zum Beispiel auch
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} [/mm] = 0 = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$.
[/mm]
d.h. beide Grenzwerte stellen die gleiche reelle Zahl dar, obwohl die Abweichungen der Folgenglieder zur $0$ jeweils unterschiedlich groß sind.
> Also nochmals: Mir ist schon klar, dass [mm]0,99\overline{9}=1[/mm]
> ist (aufgrund des Nachweises).
Warum eigentlich die beiden "Vorneunen"?
Einfach: [mm]0,\overline{9} = 1[/mm].
> Das Problem ist, dass theoretisch jede Zahl im Bereich der
> reellen Zahlen eindeutig bestimmt ist. Die Zahl
> [mm]0,99\overline{9}[/mm] ist ein Resultat aus einer Rechnung mit
> rationalen Zahlen, was dadurch die natürlichen Zahlen nicht
> mehr berücksichtigt.
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Nehmen wir einmal die Definition:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=0,99\overline{9}=1[/mm]
> Verbleiben wir aber beim Ergebniss [mm]0,99\overline{9}[/mm] .
> Weiterhin sei
> [mm]2\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=2\cdot 0,99\overline{9}[/mm],
> Dann folgt
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{9}{10^n}+\bruch{9}{10^n}\right)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{18}{10^n}=1,99\overline{9}[/mm]
> Betrachtet man die einzelnen Summationsglieder, sieht man,
> dass die "letzte" Zahl immer eine Acht ist
> [mm](1,8+0,18+0,018.....usw)[/mm]
> Die Diskrepanz am "Ende" wird bei erhöhter Summation also
> immer grösser.
Also, wichtig ist allein der Grenzwert. Es gilt:
[mm]2\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=[/mm]
[mm]=18 \cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{10}} - 1 \right)[/mm]
[mm]= 18 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}[/mm]
[mm]= 2[/mm].
Beispiel:
> [mm]99\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=99\cdot 0,99\overline{9}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{99\cdot 9}{10^n}\right)[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{891}{10^n}\right)=98,99...[/mm]
> Wobei ich an dieser Stelle die Periodenschreibweise
> vermieden habe.
> Die Summationsglieder sehen wie folgt aus :
> [mm](89,1+8,91+0,891+0,0891...[/mm]usw[mm])[/mm].
> Die "letzten" beiden Zahlen sind hier Null und Eins.
> [mm](98,99...01)[/mm]
Wiederum geht es nur um den Grenzwert, nicht um eventuelle Abweichungen einzelner Summen. Die dazugehörige Rechnung lautet:
[mm]99\cdot \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{10^n}=[/mm]
[mm]=891 \cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{10}} - 1 \right)[/mm]
[mm]= 891 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}[/mm]
[mm]= 99[/mm].
Liebe Grüße
Julius
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http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/sek1/arithmetik/periode/periode.htm