Nullmenge im R^2 < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweise, dass der Graph der Sinusfunktion eine Nullmenge im [mm] \IR^2 [/mm] ist. |
Hallo Matheraum,
wir haben in der Vorlesung als Beispielt gezeigt, dass dass [mm] \IQ [/mm] eine Nullmenge in [mm] \IR [/mm] ist. Diese Beispiel habe ich verstanden, aber bei dieser Aufgabe hier habe ich keine Idee, wie ich anfangen bzw. was ich genau zeigen muss.
Danke für eure Hilfe
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Hiho,
betrachten wir erstmal nur die Sinusfunktion auf [0,1].
Mal als Idee:
Nun ist [mm] \sin [/mm] aber Riemann-integrierbar auf [0,1], d.h. es gibt zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] eine Menge von Quadern [mm] (U_k)_{k=0}^n [/mm] ("Untersumme") und eine Menge von Quadern [mm] (O_k)_{k=0}^n [/mm] ("Obersumme") so dass [mm] $\left(x,\sin(x)\right) \in \bigcup_{k=0}^n \left(O_k\setminus U_k\right)$ [/mm] mit [mm] $\lambda\left( \bigcup_{k=0}^n \left(O_k\setminus U_k\right)\right) [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Bringt dich das weiter (und schaffst du es, das sauber auszuformulieren)?
MFG,
Gono.
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> Hiho,
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> betrachten wir erstmal nur die Sinusfunktion auf [0,1].
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> Mal als Idee:
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> Nun ist [mm]\sin[/mm] aber Riemann-integrierbar auf [0,1], d.h. es
> gibt zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] eine Menge von Quadern
> [mm](U_k)_{k=0}^n[/mm] ("Untersumme") und eine Menge von Quadern
> [mm](O_k)_{k=0}^n[/mm] ("Obersumme") so dass [mm]\left(x,\sin(x)\right) \in \bigcup_{k=0}^n \left(O_k\setminus U_k\right)[/mm]
> mit [mm]\lambda\left( \bigcup_{k=0}^n \left(O_k\setminus U_k\right)\right) < \varepsilon[/mm]
>
> Bringt dich das weiter (und schaffst du es, das sauber
> auszuformulieren)?
>
> MFG,
> Gono.
Ok, also ich kann mir das ungefähr vorstellen, habe ein Bild im Kopf.
Was mir aber noch unklar ist: Was bedeutet [mm] O_k\setminus U_k, O_k [/mm] ohne [mm] U_k? [/mm] Was bedeutet diese [mm] \lambda, [/mm] was für eine Funktion ist das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Do 22.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hiho,
> >
> > betrachten wir erstmal nur die Sinusfunktion auf [0,1].
> >
> > Mal als Idee:
> >
> > Nun ist [mm]\sin[/mm] aber Riemann-integrierbar auf [0,1], d.h. es
> > gibt zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] eine Menge von Quadern
> > [mm](U_k)_{k=0}^n[/mm] ("Untersumme") und eine Menge von Quadern
> > [mm](O_k)_{k=0}^n[/mm] ("Obersumme") so dass [mm]\left(x,\sin(x)\right) \in \bigcup_{k=0}^n \left(O_k\setminus U_k\right)[/mm]
> > mit [mm]\lambda\left( \bigcup_{k=0}^n \left(O_k\setminus U_k\right)\right) < \varepsilon[/mm]
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> >
> > Bringt dich das weiter (und schaffst du es, das sauber
> > auszuformulieren)?
> >
> > MFG,
> > Gono.
>
> Ok, also ich kann mir das ungefähr vorstellen, habe ein
> Bild im Kopf.
>
> Was mir aber noch unklar ist: Was bedeutet [mm]O_k\setminus U_k, O_k[/mm]
> ohne [mm]U_k?[/mm]
Ja
> Was bedeutet diese [mm]\lambda,[/mm] was für eine
> Funktion ist das?
Das ist das Lebesquemaß auf dem [mm] \IR^2. [/mm] Hattet Ihr das nicht ?
FRED
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> Beweise, dass der Graph der Sinusfunktion eine Nullmenge im
> [mm]\IR^2[/mm] ist.
> Hallo Matheraum,
>
> wir haben in der Vorlesung als Beispiel gezeigt, dass dass
> [mm]\IQ[/mm] eine Nullmenge in [mm]\IR[/mm] ist. Diese Beispiel habe ich
> verstanden, aber bei dieser Aufgabe hier habe ich keine
> Idee, wie ich anfangen bzw. was ich genau zeigen muss.
>
> Danke für eure Hilfe
Hallo Mathestudi7,
mit "Graph der Sinusfunktion" ist hier sicher die Menge
S = [mm] $\{(x\,,\,sin\,x)\ |\ x\in\IR\}$ [/mm]
gemeint. Diese Menge wird durch eine Linie "ohne Breite"
dargestellt, ebenso wie z.B. die x-Achse oder jede andere
Gerade.
Es fragt sich, welche Mittel zum Beweis zugelassen sind.
Ich stelle mir etwa vor, dass man S als Schnittmenge einer
(unendlichen) Menge von Teilmengen [mm] S_k [/mm] von [mm] \IR^2 [/mm] darstellen
kann, wobei [mm] $S_0\supset S_1\supset S_2\supset [/mm] .....$ , wobei die
Flächeninhalte von [mm] S_k [/mm] endlich sind und gegen 0 streben.
Ich würde es z.B. mit sowas machen:
[mm] S_k [/mm] = [mm] $\{(x\,,\,y)\ |\ x\in\IR\ ,\ sin(x)\le y\le sin(x)+\frac{1}{k*(1+x^2)}}$
[/mm]
Möglicherweise kann man es sich noch einfacher machen,
je nachdem was als Grundlage erlaubt ist.
LG Al-Chw.
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@fred97 Ja doch, hatten wir natürlich. Viel mir nur gerade nichtmehr ein.
@Al-Chwarizmi
Ok, also ich habe verstanden, dass der Sinusgraph in allen $ [mm] S_k [/mm] 's $ liegt und wenn k [mm] \to \infty [/mm] geht, nähern sich die "untere und obere Begrenzung der $ [mm] S_k [/mm] 's $ " dem Graphen. Der Flächeninhalt geht dabei gegen 0.
Allerdings die $ [mm] S_k [/mm] 's $ so zu definieren wie du, darauf wär ich jetzt nicht gekommen. Warum machst du in dem letzten Term noch das $ (1 + [mm] x^2) [/mm] $ in den Nenner? Wenn k [mm] \to \infty [/mm] geht, reicht doch das [mm] \bruch{1}{k} [/mm] zum konvergieren, oder nicht!?
Cu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 22.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> @fred97 Ja doch, hatten wir natürlich. Viel mir nur gerade
> nichtmehr ein.
>
> @Al-Chwarizmi
> Ok, also ich habe verstanden, dass der Sinusgraph in allen
> [mm]S_k 's[/mm] liegt und wenn k [mm]\to \infty[/mm] geht, nähern sich die
> "untere und obere Begrenzung der [mm]S_k 's[/mm] " dem Graphen. Der
> Flächeninhalt geht dabei gegen 0.
> Allerdings die [mm]S_k 's[/mm] so zu definieren wie du, darauf wär
> ich jetzt nicht gekommen. Warum machst du in dem letzten
> Term noch das [mm](1 + x^2)[/mm] in den Nenner? Wenn k [mm]\to \infty[/mm]
> geht, reicht doch das [mm]\bruch{1}{k}[/mm] zum konvergieren, oder
> nicht!?
Wenn man [mm] S_k [/mm] so def.,
$ [mm] S_k [/mm] $ = $ [mm] \{(x\,,\,y)\ |\ x\in\IR\ ,\ sin(x)\le y\le sin(x)+\frac{1}{k} \} [/mm] $,
so ist [mm] \lambda(S_k)= \infty [/mm] für jedes k.
Das ist zwar ganz nett, bringt Dir aber nichts.
FRED
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>
> Cu
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> Ok, also ich habe verstanden, dass der Sinusgraph in allen
> [mm]S_k 's[/mm] liegt und wenn k [mm]\to \infty[/mm] geht, nähern sich die
> "untere und obere Begrenzung der [mm]S_k 's[/mm] " dem Graphen. Der
> Flächeninhalt geht dabei gegen 0.
> Allerdings die [mm]S_k 's[/mm] so zu definieren wie du, darauf wär
> ich jetzt nicht gekommen. Warum machst du in dem letzten
> Term noch das [mm](1 + x^2)[/mm] in den Nenner? Wenn k [mm]\to \infty[/mm]
> geht, reicht doch das [mm]\bruch{1}{k}[/mm] zum konvergieren, oder
> nicht!?
Hallo,
der Summand [mm]\bruch{1}{k}[/mm] würde zwar dazu reichen, dass der
obere Graph an jeder Stelle [mm] x\in\IR [/mm] gegen die Sinuskurve
konvergiert, aber nicht dazu, dass der Flächeninhalt
zwischen den Kurven auch gegen 0 konvergiert, denn der
bleibt unendlich groß, wie klein das (positive) k auch
sein mag. Darauf hat Fred schon hingewiesen.
LG Al-Chw.
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