Nullstelle v. ungraden Polynom < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | | Zeige, dass ein reelles Polynom p: [mm] \IR \to \IR [/mm] ungraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. |
Ich habe gleich zwei Ideen:
1.) Man könnte zeigen dass p surjektiv ist, dann hat das Polynom auf jeden
Fall mindestens eine Nullstelle.
2.) ich könnte auch ein Intervall suchen, [x,y] mit f(x) [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] f(y)
Dann Biosektionsverfahren (intervallhalbierung)
was ist leichter?
zu 1.) was muss ich für surjektivität zeigen
zu 2.) wie zeige ich dass ein x und ein y so wie oben angegeben wählen kann??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hiho,
ich würds mitm Zwischenwertsatz machen:
[mm]f(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0, a_n \not= 0[/mm]
1. Fall [mm]a_n > 0 [/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} f(x) = \infty[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty[/mm]
[mm]\Rightarrow \exists a,b \in \IR: f(a) < 0 \wedge f(b) > 0[/mm]
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Als kleine Beweisskizze, genaue Begründungen musst noch selbst machen und den Rest der da noch fehlt, natürlich auch 
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
Warum gilt:
1. Fall [mm]a_n > 0[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} f(x) = \infty[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty[/mm]
[mm]\Rightarrow \exists a,b \in \IR: f(a) < 0 \wedge f(b) > 0[/mm]
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Hallo CPH!
> Warum gilt:
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> 1. Fall [mm]a_n > 0[/mm]
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> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} f(x) = \infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists a,b \in \IR: f(a) < 0 \wedge f(b) > 0[/mm]
Mmh, es ist doch so, dass bei einem Polynom ungeraden Grades der höchste Exponent ungerade ist. Wenn du nun positive x einsetzt, also für [mm] x\to\infty, [/mm] dann ist [mm] x^n [/mm] auch positiv, und wenn [mm] a_n [/mm] positiv ist, so geht der Grenzwert gegen [mm] \infty. [/mm] Wenn du nun aber negative Werte einsetzt, ist [mm] x^n [/mm] negativ, da [mm] a_n [/mm] positiv, ist der Grenzwert negativ. Klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
Danke erst mal!
Aber das ist mir schon klar, doch wie kann ich beweisen, dass diese Beziehung gilt und dass nicht die ganzen anderen glieder wenn die gegen [mm] -\infty [/mm] konvergieren dafür sorgen, dass das ganze Polynom (beim Einsetzen eines positiven wertes) gegen [mm] -\infty [/mm] konvergiert
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Hiho,
für [mm] a_n [/mm] > 0 weisst du sicherlich, daß gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} a_nx^n [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
Betrachte nun [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{a_nx^n + ... +a_1x + a_0}{a_nx^n}[/mm].
Tip: L'Ho(s)pital.
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Hallo,
schau auch mal ![[]](/images/popup.gif) hier ein. Mit linearer Algebra geht es auch!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
Ich möchte hiermit allen beteilligten Danken, nun habe ich die Lösung verstanden.
MFG
Christoph
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