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Forum "Uni-Analysis" - Nullstellen
Nullstellen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 So 15.01.2006
Autor: ado

Aufgabe
Diskutieren sie die Funktion [mm]y=x^{2}*e^{-\bruch{x}{2}}[/mm].

Ich stehe auf dem Schlauch...
Wie finde ich z.B. die Nullstellen?
Bitte helft mir beim Lösungsweg, damit ich das ganze nachvollziehen kann!

mfg, ado

        
Bezug
Nullstellen: Nullprodukt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 So 15.01.2006
Autor: Loddar

Hallo ado!


Du willst ja bei der Nullstellenermittlung folgendes berechnen: [mm] $x^2*e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] \ = \ 0$ .


[aufgemerkt] Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich Null ist.


Für Deine Funktion heißt das:    [mm] $x^2 [/mm] \ = \ 0$    oder    [mm] $e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] \ = \ 0$



Gruß
Loddar


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Bezug
Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 So 15.01.2006
Autor: ado

Also..
Die Nullstellen (doppelte nullstelle bei [mm]x_{1,2}=0 [/mm] habe ich.
Ebenso die erste und zweite Ableitung:
[mm]y'=e^{-\bruch{x}{2}}(2x+\bruch{1}{2}x^{2})[/mm]

[mm]y''=e^{-\bruch{x}{2}}(\bruch{1}{2}x^{2}+2x+2)[/mm]

Daraus ergab sich für die Diskussion:
Pole: keine
Lücken: keine
Extrema:
[mm]x_{E1}=0[/mm]
[mm]x_{E2}=-4[/mm]

Die stimmt soweit mit der Lösung überein. Nur komme ich nicht auf die vorgegebenen Wendepunkte.
[mm]x_{W1}=1.172[/mm]
[mm]x_{W2}= 6.828[/mm]

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Bezug
Nullstellen: was hast du denn gerechnet?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:19 So 15.01.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

> Also..
>  Die Nullstellen (doppelte nullstelle bei [mm]x_{1,2}=0[/mm] habe
> ich.
>  Ebenso die erste und zweite Ableitung:
>  [mm]y'=e^{-\bruch{x}{2}}(2x+\bruch{1}{2}x^{2})[/mm]
>  
> [mm]y''=e^{-\bruch{x}{2}}(\bruch{1}{2}x^{2}+2x+2)[/mm]
>  
> Daraus ergab sich für die Diskussion:
>  Pole: keine
>  Lücken: keine
>  Extrema:
>  [mm]x_{E1}=0[/mm]
>  [mm]x_{E2}=-4[/mm]
>  
> Die stimmt soweit mit der Lösung überein. Nur komme ich
> nicht auf die vorgegebenen Wendepunkte.
>  [mm]x_{W1}=1.172[/mm]
>  [mm]x_{W2}= 6.828[/mm]

Wenn du mal deine Rechnung zeigst, können wir dir vielleicht sagen, wo dein Fehler liegt. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 So 15.01.2006
Autor: ado

nuja. also...
für die extremahab ich die erste ableitung = 0 gesetzt, daraus dann
[mm]0=x^{2}+4x = x(x+4) \Rightarrow x_{1}=0 ;x_{2}=-4[/mm]
erhalten.
in die zweite Ableitung eingesetzt und darausjeweils +2 bekommen [mm] \Rightarrow [/mm] Extrema.

Für die Wendepunkte habe ich versucht die Nullstellen der zweiten Ableitung zu finden und in die dritte Ableitung einzusetzen..
[mm]0=x^{2}+4x+4\Rightarrow x_{1,2}=-2\pm\wurzel{2^{2}-4}=-2[/mm]

da diese aber nicht mit denen in der Lösung übereinstimmen und außerdem auch Nullstellen der dritten Ableitung sind, weiß ich nicht weiter..

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen: Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 So 15.01.2006
Autor: Loddar

Hallo ado!


Da hat sich ein Vorzeichenfehler in Deine Ableitung geschlichen. Es muss heißen:

$f'(x) \ = \ [mm] \left(2x \ \red{-} \ \bruch{x^2}{2}\right)*e^{-\bruch{x}{2}}$ [/mm]

Dieses Minuszeichen entsteht aus der inneren Ableitung der e-Funktion.


Gruß
Loddar


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Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:34 So 15.01.2006
Autor: ado

oh weh! nun sehe ich es auch!
herjemine!
danke.
also nochmal von vorn! ;)

Bezug
                                
Bezug
Nullstellen: Ableitungen - die zweite
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:51 So 15.01.2006
Autor: ado

sind die folgenden Ableitungen richtig?
[mm]y'=e^{-\bruch{x}{2}}(2x-\bruch{1}{2}x^{2})[/mm]
[mm]y''=e^{-\bruch{x}{2}}(2-2x+\bruch{1}{4}x^{2})[/mm]
[mm]y'''=e^{-\bruch{x}{2}}(-3+\bruch{3}{2}x-\bruch{1}{8}x^{2})[/mm]

mfg ado

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Nullstellen: Richtig!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:05 Mo 16.01.2006
Autor: Loddar

Hallo ado!


[daumenhoch] Jetzt sind sie richtig die Ableitungen!


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:15 Mo 16.01.2006
Autor: ado

besten dank!! [flowers]
habe es auch grade an den richtigen ergebnissen sehen können :)

matheraum.de wirkt! ;)

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