Nullstellen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Do 23.10.2008 | | Autor: | Dinker |
Mein erster Schritt beim FUnktionen zeichnen sind die NUllpunkte zu berechnen...
Doch nicht selten kommt eine Funktion wie folgt vor: f(x) = [mm] 2x^3 -3x^2 [/mm] + 2
Bis jetzt musste uns die Lehrerin immer vertrösten, dass wir dies nicht lösen können..
Die einzige Möglichkeit wäre probieren:
[mm] (2x^3 -3x^2 [/mm] + 2) : (x + 1)
Und dann schauen ob das aufgeht, wenn nicht wieder von vorne mit anderer Kombination...ist echt mühsam
Gibt es da was effizienteres?
Besten Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Do 23.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> Mein erster Schritt beim FUnktionen zeichnen sind die
> NUllpunkte zu berechnen...
> Doch nicht selten kommt eine Funktion wie folgt vor: f(x)
> = [mm]2x^3 -3x^2[/mm] + 2
> Bis jetzt musste uns die Lehrerin immer vertrösten, dass
> wir dies nicht lösen können..
>
> Die einzige Möglichkeit wäre probieren:
> [mm](2x^3 -3x^2[/mm] + 2) : (x + 1)
Einen wirklich "effizienten" Weg gibt es nicht. Es gibt eine Methode Gleichungen dritten Grades zu loesen, die ist so umstaendlich, dass sie auch die meisten Mathematiker nicht auswendig koennen und verwenden.
ab 5 ten Grades gibt es gar keine Methode mehr.
WENN das polynom ganzzahlige Nullstellen hat, kann man die oft finden, weil sie Faktoren des absoluten Gliedes sind, wenn bei [mm] x^3 [/mm] 1 steht.
in deinem Fall also [mm] x^3-1,5x+1=0 [/mm] die ganzen Faktoren von 1 sind 1*1 und (-1)*(-1) also probiert man aus, 1 oder -1 ne nullstelle ist [mm] x_n. [/mm] Wenn ja dividiert man durch [mm] (x-x_n)
[/mm]
wenn nein geht das sicher nicht auf.
Du kannst dir selbst Aufgaben herstellen (so machen das Lehrer und Schulbuchautoren) indem du dir ein polynaom "herstellst, dessen Nullstellen du kennst:
p(x)=(x-a)*(x-b)*(x-c) ausmultipl. a,b,c Zahlen. Da kennst du die Nst. schon . wenn du fuer die Zahlen a,b,c kleine wenigstens eine ne kleine ganze Zahl nimmst kannst du dann aus dem ausmult. Polynom wieder die Nst. finden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 23.10.2008 | | Autor: | Dinker |
Gibt es im INternet ein Programm, dass Gleichungen höheren Grades rechnet?
Besten Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Do 23.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Dinker,
> Gibt es im INternet ein Programm, dass Gleichungen höheren
> Grades rechnet?
Antwort: Ja, die gibt es.
> Besten Dank
und hiermit erhältst du, wie im Kindergarten" eine weitere Aufforderung zu einem freundlichem "Hallo", "Herzlichen Dank Leduart, dass du auf meine Frage reagiert hast" und "Auf Wiedersehen"
Lg
Herby
ps: Mach' dir über Lösungen für Polynome höherer Ordnung keinen Kopf - bei Schulaufgaben ist meist eine Lösung ganzzahlig, dann Polynomdivision, dann p-q-Formel
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> WENN das polynom ganzzahlige Nullstellen hat, kann man
> die oft finden, weil sie Faktoren des absoluten Gliedes
> sind, wenn bei [mm]x^3[/mm] 1 steht.
> in deinem Fall also [mm]x^3-1,5x+1=0[/mm] die ganzen Faktoren von
> 1 sind 1*1 und (-1)*(-1) also probiert man aus, 1 oder -1
> ne nullstelle ist [mm]x_n.[/mm] Wenn ja dividiert man durch [mm](x-x_n)[/mm]
> wenn nein geht das sicher nicht auf.
hallo leduart,
Die Zusatzbedingung, dass [mm] x^3 [/mm] den Faktor 1 haben
soll, ist nicht geeignet bzw. falsch. Wichtig ist jedoch,
dass alle Koeffizienten des Polynoms ganzzahlig sind.
So hat z.B. das Polynom [mm] 2x^3-x^2-16x+15
[/mm]
die ganzzahligen Nullstellen 1 und -3 (und dazu die
gebrochene Nullstelle 2.5).
1 und -3 sind (ganzzahlige!) Teiler des konstanten
Gliedes 15. "Normiert" man das Polynom aber so,
dass bei [mm] x^3 [/mm] der Faktor 1 steht, so hat man:
[mm] x^3-0.5x^2-8x+7.5
[/mm]
welches sind die ganzzahligen Teiler von 7.5 ???
Gruß Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Do 23.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Danke an Al-Ch. fuer den Hinweis auf meinen dummen Fehler
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Sa 25.10.2008 | | Autor: | zuegera |
| Aufgabe | | [mm] x^{3}+x^{2}+2x-7=0 [/mm] |
Hallo liebe Leute
Auch ich habe ein ähnliches Problem. Ich möchte die Lösungen obenstehender Gleichung via Polynomdivision bestimmen. doch wie finde ich einen "geeigneten" Divisor??
Danke für eure Antwort(en).
Gruss Andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Also die ufgschriebni glichig gihd gar kei lösig
Gruess
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> [mm]x^{3}+x^{2}+2x-7=0[/mm]
> Hallo liebe Leute
> Auch ich habe ein ähnliches Problem. Ich möchte die
> Lösungen obenstehender Gleichung via Polynomdivision
> bestimmen. doch wie finde ich einen "geeigneten" Divisor??
Hallo Andy,
jede kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat mindes-
tens eine reelle Lösung, also auch diese.
Wenn die Gleichung eine ganzzahlige Lösung hätte,
müsste diese ein Teiler des konstanten Gliedes 7 sein,
also 1 oder -1 oder 7 oder -7. Durch Einsetzen dieser vier
Werte stellt man aber leicht fest, dass keiner die Gleichung
erfüllt.
Dies bedeutet, dass diese Gleichung keine ganzzahlige Lösung
hat; sie hat auch keine rationale Lösung. Deshalb ist die Suche
nach einem Divisor praktisch hoffnungslos. Man kann die reelle
Lösung (es gibt hier wirklich genau eine) z.B. mit einem Nähe-
rungsverfahren approximieren.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Wir haben uns bisher nur mit rationalen Zahlen abgegeben.
Auf welcher Schulstufe werden denn auch nicht rationale Zahlen berücksichtigt?
Besten Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, denn du hast mit Wurzeln gerechnet
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 26.10.2008 | | Autor: | zuegera |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Da bin ich aber beruhigt.. War kurz vor dem verzweifeln ;)
Ich werde mal versuchen die NS graphisch zu bestimmen..
Gruss Andy
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Hallo Andy,
die Antwort ist ziemlich einfach: Du muss schauen für welches x deine Funktion den Wert 0 annimmt. Das machst du indem du einfach Werte einsetzt, die dieses Kriterium erfüllen. Falls du dein [mm] x [/mm] findest, bildest du daraus deinen Linearfaktor.
Im folgenden Beweisbeispiel wird dir denke ich auffallen, was für eine Rolle ein solcher Linearfaktor spielt.
Bsp.:
Vorraussetzung:
Die Linearfaktoren [mm] \left(x+1\right),\left(x-2\right) [/mm]. Dabei soll gelten [mm] \left(x+1\right)*\left(x-2\right)=x^2-x-2 [/mm].
Behauptung:
Aus den Nullstellen von [mm] x^2-x-2 [/mm] lassen sich wieder die Linearfaktoren bestimmen.
Beweis:
[mm] 0= x^2-x-2 [/mm]
=> [mm] x_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{1}{2}}\right)^2+2 [/mm]
=> [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm]
Du siehst nun was dieser tolle Beweis nun zur Folge hat: Wenn du meine anfänglichen Worte beachtest,siehst du, dass diese x-Werte wieder unsere Linearfaktoren bilden: [mm] \left(x_1+1\right) [/mm] und [mm] \left(x_2-2\right) [/mm]
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Schöne Grüße
Mathestudent
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