Nullstellen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 So 16.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
hi,
ich möchte eine Partialbruchzerlegung machen mit
[mm] \bruch{1}{z^{3}-iz^{2}-z+i} [/mm] in [mm] \IC
[/mm]
brauche ja dazu erstmal die Nullstellen des Nennerpolynoms.
Ich tue mich damit unheimlich schwer.
[mm] z^{3}-iz^{2}-z+i [/mm] ist ein komplexes Polynom 3. Ordnung
hat also 2 komplexe und eine reelle Nulstelle soweit ich weiß.
mit z=i hab ich doch [mm] i^{3}-i i^{2}-i+i [/mm] = 0
dann muss z=-i auch eine Nullstelle sein.
Aber was is hier die reeller Nullstelle?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 16.11.2008 | | Autor: | abakus |
> hi,
>
> ich möchte eine Partialbruchzerlegung machen mit
>
> [mm]\bruch{1}{z^{3}-iz^{2}-z+i}[/mm] in [mm]\IC[/mm]
>
> brauche ja dazu erstmal die Nullstellen des
> Nennerpolynoms.
> Ich tue mich damit unheimlich schwer.
>
>
> [mm]z^{3}-iz^{2}-z+i[/mm] ist ein komplexes Polynom 3. Ordnung
> hat also 2 komplexe und eine reelle Nulstelle soweit ich
> weiß.
Sortiere das Nennerpolynom mal nach Summanden mit und ohne i.
[mm] z^{3}-iz^{2}-z+i=(z^3-z)-i(z^2-1)
[/mm]
In der vorderen Klammer lässt sich z ausklammern:
[mm] ...=z(z^2-1)-i(z^2-1) [/mm]
und jetzt kann man die Klammer ausklammern...
Gruß Abakus
>
> mit z=i hab ich doch [mm]i^{3}-i i^{2}-i+i[/mm] = 0
> dann muss z=-i auch eine Nullstelle sein.
> Aber was is hier die reeller Nullstelle?
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 16.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
danke (-:
ich hab also
[mm] \bruch{1}{(z^{2}-1)(z-i)} [/mm] = [mm] \bruch{a}{z^{2}-1} [/mm] + [mm] \bruch{b}{z^{2}+1} +\bruch{c}{z-i}
[/mm]
Mach ich jetzt Koeffizientenvergleich kommt bei mir sowas wie
1=0 für z=i, für z=1 und z=-1 bekomme ich 1=A(1-i) bzw. 1=A(-1-i)
Was an meiner ausgangsgleichung ist falsch? Und warum hab ich nur eine komplexe Nullstelle. Kann ja auch nicht stimmen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 So 16.11.2008 | | Autor: | abakus |
> danke (-:
>
> ich hab also
>
> [mm]\bruch{1}{(z^{2}-1)(z-i)}[/mm] = [mm]\bruch{a}{z^{2}-1}[/mm] +
> [mm]\bruch{b}{z^{2}+1} +\bruch{c}{z-i}[/mm]
>
> Mach ich jetzt Koeffizientenvergleich kommt bei mir sowas
> wie
>
> 1=0 für z=i, für z=1 und z=-1 bekomme ich 1=A(1-i) bzw.
> 1=A(-1-i)
>
> Was an meiner ausgangsgleichung ist falsch? Und warum hab
> ich nur eine komplexe Nullstelle. Kann ja auch nicht
> stimmen...
>
[mm] z^2-1 [/mm] ist nicht [mm] (z^2+1)(z^2-1), [/mm] sondern (z+1)(z-1).
|
|
|
|
