Nullstellen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mo 23.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Linearfaktorzerlegung von P(z) = [mm] z^{4} [/mm] - [mm] iz^{3} [/mm] - [mm] z^{2} [/mm] + iz. |
Hallo,
also bei der Aufgabe habe ich erstmal [mm] z_{1} [/mm] = 0 als Nullstelle Gefunden, dann ist das ja nach Gauß so, dass wenn alle Koeffizienten ganzzahlig sind und der erste 1, dann ist eine Nullstelle Teiler des letzten (oder wie auch immer das genau formuliert ist). So habe ich dann i als Nullstelle gefunden. damit dann Polynomdivision gemacht und hatte dann noch [mm] z^{2} [/mm] - 1. Wenn ich das weiter auflöse komme ich auf [mm] z_{3.4} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1. Meine Linearfaktorzerlegung würde dann so aussehen
P(z) = z(z - i)(z - 1)(z + 1)
Ist das so richtig gemacht?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Linearfaktorzerlegung von P(z) = [mm]z^{4}[/mm] -
> [mm]iz^{3}[/mm] - [mm]z^{2}[/mm] + iz.
> Hallo,
>
> also bei der Aufgabe habe ich erstmal [mm]z_{1}[/mm] = 0 als
> Nullstelle Gefunden, dann ist das ja nach Gauß so, dass
> wenn alle Koeffizienten ganzzahlig sind und der erste 1,
> dann ist eine Nullstelle Teiler des letzten (oder wie auch
> immer das genau formuliert ist). So habe ich dann i als
> Nullstelle gefunden. damit dann Polynomdivision gemacht und
> hatte dann noch [mm]z^{2}[/mm] - 1. Wenn ich das weiter auflöse
> komme ich auf [mm]z_{3.4}[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1. Meine Linearfaktorzerlegung
> würde dann so aussehen
>
> P(z) = z(z - i)(z - 1)(z + 1)
>
> Ist das so richtig gemacht?
Ja
Du kannst das auch selbst kontrollieren:
z(z - i)(z - 1)(z + 1)
ausmultiplizieren und schauen , ob $ [mm] z^{4} [/mm] $ - $ [mm] iz^{3} [/mm] $ - $ [mm] z^{2} [/mm] $ + iz rauskommt.
FRED
>
> Gruß
> al3pou
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