Nullstellen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Fee |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie : Der Graph der Funktion f mit f(x) = [mm] x^5 [/mm] + x + 1
schneidet die x - Achse genau einmal.
b) Berechnen Sie die Abszisse dieses Schnittpunktes auf 4 Dezimalzahlen. |
Hi :)
Bei Aufgabe a) habe ich leider keine Ahnung wie ich ansetzten soll ...
bei b) muss man das Newton-Verfahren , dass wiß ich :)
Könnt ihr mir bei Aufgabe a) helfen ?
Vielen Danh :)
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Hallo,
> Bei Aufgabe a) habe ich leider keine Ahnung wie ich
> ansetzten soll ...
Untersuche das Grenzverhalten für [mm] x->-\infty [/mm] bzw. [mm] x->\infty [/mm] sowie das Monotonieverhalten. Führe dann noch die Stetigkeit von Polynomfunktionen auf ganz [mm] \IR [/mm] ins Feld*. Aus allem zusammen folgt die Behauptung.
> bei b) muss man das Newton-Verfahren , dass wiß ich :)
Man muss nicht, es gibt auch andere Näherungsverfahren. Aber im Rahmen der Schulmathematik ist es i.d.R. das einzige, das zur Verfügung steht. Also ist es hier sicherlich vorgesehen. 
*Siehe dazu auch die folgende Diskussion zwischen Marcel und mir.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Bei Aufgabe a) habe ich leider keine Ahnung wie ich
> > ansetzten soll ...
>
> Untersuche das Grenzverhalten für [mm]x->-\infty[/mm] bzw.
> [mm]x->\infty[/mm]
es würde auch mit dem
> sowie das Monotonieverhalten.
reichen, einfach sowas wie $f(-1) < [mm] 0\,$ [/mm] und $f(0) > [mm] 0\,$ [/mm] nachzurechnen!
> Aus beidem zusammen
> folgt die Behauptung.
Daraus folgt nur die Eindeutigkeit im Falle der Existenz einer Nullstelle!
@ Fee:
Tipp: Monotonieverhalten kann man leicht vermittels [mm] $f\,'$ [/mm] erkennen!
P.S.
Man sollte hier, um die Existenz einer Nullstelle gesichert zu haben, auch nicht die Anwendung des Zwischenwertsatzes vergessen!!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> es würde auch mit dem
>
> > sowie das Monotonieverhalten.
>
>
> reichen, einfach sowas wie [mm]f(-2) < 0\,[/mm] und [mm]f(0) > 0\,[/mm]
> nachzurechnen!
ja, natürlich. Ich wollte nur ein allgemeingültiges Verfahren angeben.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo Marcel,
>
> > es würde auch mit dem
> >
> > > sowie das Monotonieverhalten.
> >
> >
> > reichen, einfach sowas wie [mm]f(-2) < 0\,[/mm] und [mm]f(0) > 0\,[/mm]
> > nachzurechnen!
>
> ja, natürlich. Ich wollte nur ein allgemeingültiges
> Verfahren angeben.
okay. Aber Du musst noch etwas ergänzen, damit auch die Existenz einer Nullstelle gesichert ist.
(Und sei es nur der Satz, dass Polynomfunktionen stetig sind.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> okay. Aber Du musst noch etwas ergänzen, damit auch die
> Existenz einer Nullstelle gesichert ist.
> (Und sei es nur der Satz, dass Polynomfunktionen stetig
> sind.)
hm, das ist mathematisch schon klar. Aber die gängige Praxis in der Schule verzichtet i.d.R. darauf, da der Zustand der Stetigkeit hier (bei ganzrationalen Funktionen) in gewissem Sinn als 'normal' angenommen wird. Bei uns in BW kommen zu dem Zeitpunkt, wo solche Aufgaben gestellt werden, Funktionen mit Definitionslücken noch gar nicht vor. Wir haben hier ja auch dieses Jahr schon erfolgreich die Quotientenregel im Abitur abgeschafft... ^^
Ich ergänze es oben aber dennoch: wir sind hier schließlich ein ernsthaftes Forum. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > okay. Aber Du musst noch etwas ergänzen, damit auch die
> > Existenz einer Nullstelle gesichert ist.
> > (Und sei es nur der Satz, dass Polynomfunktionen stetig
> > sind.)
>
> hm, das ist mathematisch schon klar. Aber die gängige
> Praxis in der Schule verzichtet i.d.R. darauf, da der
> Zustand der Stetigkeit hier (bei ganzrationalen Funktionen)
> in gewissem Sinn als 'normal' angenommen wird. Bei uns in
> BW kommen zu dem Zeitpunkt, wo solche Aufgaben gestellt
> werden, Funktionen mit Definitionslücken noch gar nicht
> vor.
Definitionslücken erzwingen keine Unstetigkeit: $f: [mm] \IR \setminus \{0\} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=1/x\,$ [/mm] ist STETIG! An einer Definitionslücke, hier etwa [mm] $0\,,$ [/mm] gibt's per Definitionem keine Aussage über (Un-)Stetigkeit. Dass [mm] $f\,$ [/mm] dennoch die Erlaubnis hat, keine Nullstelle haben zu dürfen, liegt hier daran, dass der Zwischenwertsatz nicht anwendbar ist, weil Intervalle der Bauart [mm] $[a,b]\,$ [/mm] mit $a < 0 < [mm] b\,$ [/mm] nicht $[a,b] [mm] \subseteq \IR \setminus \{0\}$ [/mm] erfüllen. Die Voraussetzung zur Anwendung des ZWS sind nicht erfüllt!
> Wir haben hier ja auch dieses Jahr schon erfolgreich
> die Quotientenregel im Abitur abgeschafft... ^^
Ernsthaft? Ach Du meine Güte... ^^
> Ich ergänze es oben aber dennoch: wir sind hier
> schließlich ein ernsthaftes Forum.
Gut
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 12.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Diophant
> Wir (in BW) haben hier ja auch dieses Jahr schon erfolgreich
> die Quotientenregel im Abitur abgeschafft... ^^
Nicht nur ihr. AUch hier in NRW ist die Quotientenregel im Grundkurs gar kein Thema mehr, und in LK auch nur noch optional.
>
> Ich ergänze es oben aber dennoch: wir sind hier
> schließlich ein ernsthaftes Forum.
Sehr gut.
>
>
> Gruß, Diophant
>
Gruß aus Bielefeld
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Diophant
>
> > Wir (in BW) haben hier ja auch dieses Jahr schon
> erfolgreich
> > die Quotientenregel im Abitur abgeschafft... ^^
>
> Nicht nur ihr. AUch hier in NRW ist die Quotientenregel im
> Grundkurs gar kein Thema mehr, und in LK auch nur noch
> optional.
sollte ich jemals Mathe-Lehrer werden, würde ich sie im Grundkurs dennoch lehren. Das kann doch nicht sein. Demnächst muss man den Leuten an der Uni noch das Subtrahieren von Zahlen lehren, weil sie in der Schule nur noch die Addition gelernt haben. Also irgendwo hört's aber auch wirklich auf - sonst kann man demnächst an der Uni erstmal ein Einführungsjahr veranstalten, damit die Leute wenigstens minimale Grundlagen für ein Mathematikstudium zur Verfügung haben...
P.S.:
Quotientenregel kann man auch schön versteckt einführen und auch auf "schnellem" Wege den Schülern beibringen, auch, wenn's formal nicht das sauberste ist:
1.) Kettenregel steht hoffentlich noch zur Verfügung. Die Erkenntnis [mm] $(x^n)'=n*x^{n-1}$ [/mm] sicher auch (ich würde einfach sagen, dass sie auch für $n [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt - wer's beweisen will, darf's als freiwillige Zusatz-Hausaufgabe ansehen). Daher und mit der Produktregel:
[mm] $$(f/g)'=(f\,'*(g^{-1}))'=f\,'*g^{-1}+f*(g^{-1})'=f\,'*\frac{1}{g}+f*(-1)*(g^{-1-1}*g\,')=\frac{f'}{g}*\frac{g}{g}-\frac{f*g'}{g^2}=\frac{f\,'g-fg\,'}{g^2}\,.$$
[/mm]
Als Lehrer würde ich schlimmstenfalls dieses einfach den Schülern dann vorsetzen.
Und dann sollten sie Aufgaben mithilfe des Ergebnisses dieser Rechnung lösen. Ich weiß, ist fies, aber wenn man solche sinnlosen Kürzungen vornimmt: So kann man sie umgehen ^^
P.S.
Oben bedeutet ausnahmsweise die Notation [mm] $g^{-1}$ [/mm] mal wirklich [mm] $g^{-1}:=1/g\,,$ [/mm] und wird nicht als Notation für "die Umkehrfunktion" verwendet.
P.P.S.
Dabei habe ich verwendet:
[mm] $g^{-1}=h \circ [/mm] g$ mit [mm] $h(x):=x^{-1}\,,$ [/mm] so dass wegen der Kettenregel folgt
[mm] $$(g^{-1})'(x)=(h \circ g)'(x)=h'(g(x))*g'(x)=-1*(g(x))^{-2}*g'(x)=-g'(x)/(g(x))^2\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$(g^{-1})'=-g'/g^2\,.$$
[/mm]
(Erneut: Oben bedeutet ausnahmsweise die Notation [mm] $g^{-1}$ [/mm] mal wirklich [mm] $g^{-1}:=1/g\,,$ [/mm] und wird nicht als Notation für "die Umkehrfunktion" verwendet!)
Gruß,
Marcel
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