Nullstellen Faktorielle Ringe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R ein faktorieller Ring mit Quotientenkörper K. Sei ferner [mm] f:=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\in [/mm] R[x] ein normiertes Polynom in R[x] mit Nullstelle [mm] \alpha\in [/mm] K.
Zeigen Sie: Dann ist [mm] \alpha \in [/mm] R und es gilt [mm] \alpha| a_0 [/mm] |
Meine Lösung bislang:
Sei [mm] p,q\in [/mm] R und [mm] \alpha=\frac{p}{q} [/mm] mit [mm] q\not=0, [/mm] wobei der Bruch gekürzt sein soll, es gilt also [mm] ggT\left(p,q\right)=1.
[/mm]
[mm] f=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\in R\left[x\right]
[/mm]
Da das Polynom nomiert ist gilt [mm] a_{n}=1 [/mm] und wir erhalten [mm] \frac{p^{n}}{q^{n}}+a_{n-1}\frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}+...+a_{1}\cdot\frac{p}{q}+a_{0} =0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n} =0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n} =-p^{n}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-\left(a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}\right) =p^{n}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}p^{n-2}q^{1}+...+a_{1}pq^{n-2}+a_{0}q^{n-1}\right) =p^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow q|p^{n}.
[/mm]
Da gilt [mm] ggT\left(p,q\right)=1 \Rightarrow q\in R^\*
[/mm]
Wie kann ich aber nun folgern das [mm] \alpha \in [/mm] R?
Außerdem weiss ich nicht wie ich daraus die Teilbarkeit von [mm] \alpha|a_0 [/mm] genauer begründen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Do 08.06.2017 | | Autor: | felixf |
Moin
> Sei R ein faktorieller Ring mit Quotientenkörper K. Sei
> ferner [mm]f:=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\in[/mm] R[x] ein
> normiertes Polynom in R[x] mit Nullstelle [mm]\alpha\in[/mm] K.
>
> Zeigen Sie: Dann ist [mm]\alpha \in[/mm] R und es gilt [mm]\alpha| a_0[/mm]
>
> Meine Lösung bislang:
>
> Sei [mm]p,q\in[/mm] R und [mm]\alpha=\frac{p}{q}[/mm] mit [mm]q\not=0,[/mm] wobei der
> Bruch gekürzt sein soll, es gilt also
> [mm]ggT\left(p,q\right)=1.[/mm]
>
> [mm]f=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\in R\left[x\right][/mm]
>
> Da das Polynom nomiert ist gilt [mm]a_{n}=1[/mm] und wir erhalten
> [mm]\frac{p^{n}}{q^{n}}+a_{n-1}\frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}+...+a_{1}\cdot\frac{p}{q}+a_{0} =0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n} =0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n} =-p^{n}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow-\left(a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}\right) =p^{n}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow-q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}p^{n-2}q^{1}+...+a_{1}pq^{n-2}+a_{0}q^{n-1}\right) =p^{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow q|p^{n}.[/mm]
>
> Da gilt [mm]ggT\left(p,q\right)=1 \Rightarrow q\in R^\*[/mm]
>
> Wie kann ich aber nun folgern das [mm]\alpha \in[/mm] R?
Steht da doch schon fast  Da [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \frac{p}{q} [/mm] = p [mm] q^{-1}$ [/mm] ist und $p$, [mm] $q^{1} \in [/mm] R$ sind, ist [mm] $\alpha$ [/mm] ebenfalls in $R$.
LG Felix
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> Moin
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> > Sei R ein faktorieller Ring mit Quotientenkörper K. Sei
> > ferner [mm]f:=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\in[/mm] R[x] ein
> > normiertes Polynom in R[x] mit Nullstelle [mm]\alpha\in[/mm] K.
> >
> > Zeigen Sie: Dann ist [mm]\alpha \in[/mm] R und es gilt [mm]\alpha| a_0[/mm]
>
> >
> > Meine Lösung bislang:
> >
> > Sei [mm]p,q\in[/mm] R und [mm]\alpha=\frac{p}{q}[/mm] mit [mm]q\not=0,[/mm] wobei der
> > Bruch gekürzt sein soll, es gilt also
> > [mm]ggT\left(p,q\right)=1.[/mm]
> >
> > [mm]f=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\in R\left[x\right][/mm]
> >
> > Da das Polynom nomiert ist gilt [mm]a_{n}=1[/mm] und wir erhalten
> >
> [mm]\frac{p^{n}}{q^{n}}+a_{n-1}\frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}+...+a_{1}\cdot\frac{p}{q}+a_{0} =0[/mm]
> >
> > [mm]\Leftrightarrow p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n} =0[/mm]
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> >
> > [mm]\Leftrightarrow a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n} =-p^{n}[/mm]
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> >
> [mm]\Leftrightarrow-\left(a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}\right) =p^{n}[/mm]
> >
> >
> [mm]\Leftrightarrow-q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}p^{n-2}q^{1}+...+a_{1}pq^{n-2}+a_{0}q^{n-1}\right) =p^{n}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow q|p^{n}.[/mm]
> >
> > Da gilt [mm]ggT\left(p,q\right)=1 \Rightarrow q\in R^\*[/mm]
> >
> > Wie kann ich aber nun folgern das [mm]\alpha \in[/mm] R?
>
> Steht da doch schon fast Da [mm]\alpha = \frac{p}{q} = p q^{-1}[/mm]
> ist und [mm]p[/mm], [mm]q^{1} \in R[/mm] sind, ist [mm]\alpha[/mm] ebenfalls in [mm]R[/mm].
>
> LG Felix
>
Vielen dank erstmal für deine schnelle Antwort.
Was ich aber eher meinte ist folgendes:
Ich habe angenommen, dass [mm] p,q\in [/mm] R sind. Ich muss ja nun zeigen, dass [mm] \frac{p}{q}\in [/mm] R. Ich weiss bislang nur [mm] \alpha=\frac{p}{q}\in [/mm] K
Man sagte mir, dass ich dazu zeigen muss, dass $q$ eine Einheit ist.
Das habe ich oben getan. Wieso muss aber $q$ eine Einheit sein damit [mm] \frac{p}{q}\in [/mm] R?
Bezüglich meiner zweiten Frage wie zeige ich, dass [mm] \alpha|a_0.
[/mm]
Wenn ich folgendes tue:
[mm] p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n} =0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow a_{0}q^{n} =-p\left(p^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+a_{n-2}p^{n-3}q^{2}+...+a_{1}pq\right)
[/mm]
bekomme ich
[mm] \Rightarrow p|a_{0}, [/mm] denn [mm] \frac{p}{q} [/mm] ist gekürzt, somit kann p nicht q kürzen.
Aber [mm] \alpha [/mm] ist ja nicht das gleiche wie p. Das kann es also nicht sein. Ich denke ich muss auch hier ausnutzen, dass $q$ eine Einheit ist. Das sagt mir aber ja nur, dass es ein z gibt sodass qz=1.
Deswegen weiss ich nicht genau wie mir das weiterhelfen soll.
Oder bin ich mit meiner Lösung komplett auf dem Holzweg?
LG. Krümmelmonster
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Fr 09.06.2017 | | Autor: | felixf |
Moin
> > > Sei R ein faktorieller Ring mit Quotientenkörper K. Sei
> > > ferner [mm]f:=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\in[/mm] R[x] ein
> > > normiertes Polynom in R[x] mit Nullstelle [mm]\alpha\in[/mm] K.
> > >
> > > Zeigen Sie: Dann ist [mm]\alpha \in[/mm] R und es gilt [mm]\alpha| a_0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Meine Lösung bislang:
> > >
> > > Sei [mm]p,q\in[/mm] R und [mm]\alpha=\frac{p}{q}[/mm] mit [mm]q\not=0,[/mm] wobei der
> > > Bruch gekürzt sein soll, es gilt also
> > > [mm]ggT\left(p,q\right)=1.[/mm]
> > >
> > > [mm]f=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\in R\left[x\right][/mm]
> > >
> > > Da das Polynom nomiert ist gilt [mm]a_{n}=1[/mm] und wir erhalten
> > >
> >
> [mm]\frac{p^{n}}{q^{n}}+a_{n-1}\frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}+...+a_{1}\cdot\frac{p}{q}+a_{0} =0[/mm]
> > >
> > > [mm]\Leftrightarrow p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n} =0[/mm]
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> > >
> > > [mm]\Leftrightarrow a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n} =-p^{n}[/mm]
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> [mm]\Leftrightarrow-\left(a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}\right) =p^{n}[/mm]
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> [mm]\Leftrightarrow-q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}p^{n-2}q^{1}+...+a_{1}pq^{n-2}+a_{0}q^{n-1}\right) =p^{n}[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow q|p^{n}.[/mm]
> > >
> > > Da gilt [mm]ggT\left(p,q\right)=1 \Rightarrow q\in R^\*[/mm]
> >
> >
> > > Wie kann ich aber nun folgern das [mm]\alpha \in[/mm] R?
> >
> > Steht da doch schon fast Da [mm]\alpha = \frac{p}{q} = p q^{-1}[/mm]
> > ist und [mm]p[/mm], [mm]q^{1} \in R[/mm] sind, ist [mm]\alpha[/mm] ebenfalls in [mm]R[/mm].
> >
> > LG Felix
> >
>
> Vielen dank erstmal für deine schnelle Antwort.
> Was ich aber eher meinte ist folgendes:
>
> Ich habe angenommen, dass [mm]p,q\in[/mm] R sind. Ich muss ja nun
> zeigen, dass [mm]\frac{p}{q}\in[/mm] R.
Genau.
> Ich weiss bislang nur
> [mm]\alpha=\frac{p}{q}\in[/mm] K
> Man sagte mir, dass ich dazu zeigen muss, dass [mm]q[/mm] eine
> Einheit ist.
Jein. Wenn du zeigst, dass $q$ eine Einheit ist, dann ist [mm] $\alpha \in [/mm] R$. Das ist aber keine notwendige Bedingung: in $R = [mm] \IZ$ [/mm] betrachte etwa $p = 4$, $q = 2$. (Da du hier aber [mm] $\ggT(p, [/mm] q) = 1$ voraussetzt ist "$q$ Einheit" tatsächlich auch eine notwendige Bedingung.)
> Das habe ich oben getan. Wieso muss aber [mm]q[/mm] eine Einheit
> sein damit [mm]\frac{p}{q}\in[/mm] R?
Wenn $q$ eine Einheit ist, dann ist [mm] $\frac{p}{q} [/mm] = p [mm] q^{-1}$ [/mm] ein Produkt von zwei Elementen aus $R$, da [mm] $q^{-1} \in [/mm] R$ ist. Da $R$ bzgl. der Multiplikation abgeschlossen ist, ist auch das Produkt ein Element aus $R$.
> Bezüglich meiner zweiten Frage wie zeige ich, dass
> [mm]\alpha|a_0.[/mm]
>
> Wenn ich folgendes tue:
>
> [mm]p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n} =0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow a_{0}q^{n} =-p\left(p^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+a_{n-2}p^{n-3}q^{2}+...+a_{1}pq\right)[/mm]
>
> bekomme ich
>
> [mm]\Rightarrow p|a_{0},[/mm] denn [mm]\frac{p}{q}[/mm] ist gekürzt, somit
> kann p nicht q kürzen.
Ja.
> Aber [mm]\alpha[/mm] ist ja nicht das gleiche wie p. Das kann es
> also nicht sein.
Ja, aber beide unterscheiden sich nur (multiplikativ) um eine Einheit. Und das erhält Teilbarkeit.
> Ich denke ich muss auch hier ausnutzen,
> dass [mm]q[/mm] eine Einheit ist. Das sagt mir aber ja nur, dass es
Genau.
> ein z gibt sodass qz=1.
Nein, das sagt noch viel mehr. Insbesondere: ist $e [mm] \in [/mm] R$ eine Einheit und sind $a, b [mm] \in [/mm] R$, so gilt $a [mm] \mid [/mm] b [mm] \Leftrightarrow [/mm] a e [mm] \mid [/mm] b [mm] \Leftrightarrow [/mm] a [mm] \mid [/mm] e b$.
LG Felix
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