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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die n Nullstellen des Legendre-Polynoms
[mm] P_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{d^{n}}{dx^{n}} (x^{2}-1)^{n}
[/mm]
paarweise verschieden sind und im Intervall (-1, 1) liegen.
Hinweis: Beachten Sie [mm] (x^{2}-1)^{n}, [/mm] und untersuchen Sie Ableitungen wachsender Ordnung u.a.mit dem Satz von Rolle auf Nullstellen. Beweisen Sie dazu auch, dass für jedes Polynom p ein Polynom q existiert, so dass
[mm] \bruch{d}{dx} (x^{2}-1)^{n} [/mm] p(x) = [mm] (x^{2}-1)^{n-1} [/mm] q(x)
gilt. |
Habe nur einige Ansätze gefunden, die vielleicht helfen, allerdings nicht die Lösung der Aufgabe zu sein scheinen:
Annahme: [mm] {2}-1)^{n} [/mm] für [mm] x=\pm1 [/mm] besitzt n-fache Nullstelle
Folgend: Aussage durch n-malige Anwendung des Satz von Rolle
Man beachte:
[mm] \bruch{d^{k}}{dx^{k}} |(x^{2}-1)^{n}| [/mm] für [mm] x=\pm1 [/mm] und k= 1,2,...n-1 weist je eine (n-k)-fache Nullstelle auf
-> Es folgt: Existenz von mindestens n paarweise verschiedenen Nullstellen innerhalb von [-1, 1].
--> Polynom n-ten Grades besitzt genau n Nullstellen (mit Berüchsichtigung ihrer Vielfachheiten), daraus folgt die Behauptung.
Aber so kann ich das doch nicht abgeben oder? Ich finde das ist nur ein Ansatz...
Für Hilfe bin ich immer dankbar!!
Liebe Grüße
Lisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Di 15.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lisa!
> Zeigen Sie, dass die n Nullstellen des Legendre-Polynoms
>
> [mm]P_{n}(x)[/mm] = [mm]\bruch{d^{n}}{dx^{n}} (x^{2}-1)^{n}[/mm]
>
> paarweise verschieden sind und im Intervall (-1, 1) liegen.
> Hinweis: Beachten Sie [mm](x^{2}-1)^{n},[/mm] und untersuchen Sie
> Ableitungen wachsender Ordnung u.a.mit dem Satz von Rolle
> auf Nullstellen. Beweisen Sie dazu auch, dass für jedes
> Polynom p ein Polynom q existiert, so dass
>
> [mm]\bruch{d}{dx} (x^{2}-1)^{n}[/mm] p(x) = [mm](x^{2}-1)^{n-1}[/mm] q(x)
>
> gilt.
> Habe nur einige Ansätze gefunden, die vielleicht helfen,
> allerdings nicht die Lösung der Aufgabe zu sein scheinen:
> Annahme: [mm]{2}-1)^{n}[/mm] für [mm]x=\pm1[/mm] besitzt n-fache Nullstelle
> Folgend: Aussage durch n-malige Anwendung des Satz von
> Rolle
> Man beachte:
> [mm]\bruch{d^{k}}{dx^{k}} |(x^{2}-1)^{n}|[/mm] für [mm]x=\pm1[/mm] und k=
> 1,2,...n-1 weist je eine (n-k)-fache Nullstelle auf
> -> Es folgt: Existenz von mindestens n paarweise
> verschiedenen Nullstellen innerhalb von [-1, 1].
> --> Polynom n-ten Grades besitzt genau n Nullstellen (mit
> Berüchsichtigung ihrer Vielfachheiten), daraus folgt die
> Behauptung.
> Aber so kann ich das doch nicht abgeben oder? Ich finde das
> ist nur ein Ansatz...
Aber ein guter! 
Fang mal mit der Aussage über die Polynome p und q an, die in der Aufgabe angegeben ist. Dann erstellst du eine Kette von Polynomen, an deren Ende das Legendrepolynom steht, etwa so:
[mm] p_0(x) = 1[/mm]
[mm]\bruch{d}{dx} (x^{2}-1)^{n} p_0(x) = (x^{2}-1)^{n-1} p_1(x) [/mm]
[mm]\bruch{d}{dx} (x^{2}-1)^{n-1} p_1(x) = (x^{2}-1)^{n-2} p_2(x) [/mm]
...
[mm]\bruch{d}{dx} (x^{2}-1)^{n-k} p_k(x)= (x^{2}-1)^{n-k-1} p_{k+1}(x) [/mm]
Überlege dir, welchen Grad die Polynome [mm]p_1(x),\dots[/mm] haben und wende in jedem Schritt den Satz von Rolle an.
Viele Grüße
Rainer
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