Nullstellen Polynom < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Mi 23.06.2010 | | Autor: | poly314 |
| Aufgabe | Wieviele reelle Nullstellen hat g(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!}.
[/mm]
Nutze hierfür die Funktion h(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!} e^{-x} [/mm] |
Zur Bestimmung der NS eines Polynom würde ich eigentlich Linearfaktorzerlegung machen, aber damit komme ich hier nicht weiter...Eigentlich ist mir auch nicht klar, inwieweit mir diese Hilfsfunktion dabei helfen soll.
Hat einer von euch eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch h(x)= [mm] g(x)e^{-x}
[/mm]
Also gilt: [mm] x_0 [/mm] ist Nullstelle von g [mm] \gdw x_0 [/mm] ist Nullstelle von h
Du mußt also die folgende Frage beantworten:
Wieviele reelle Nullstellen hat h
dazu berechen mal h'(x). Du wirst sehen, daß diese Ableitung eine sehr einfache Gestalt hat.
Nun mache die Fallunterscheidung n gerade /n ungerade.
Fall 1: n gerade. Überzeuge Dich von : h'(x) < 0 für jedes x [mm] \ne [/mm] 0 und h'(0) = 0. Damit ist h streng fallend auf [mm] \IR [/mm] . Dann hat h und somit auch g höchstens eine Nullstelle
Nun betrachte g für x [mm] \to \pm \infty [/mm] und vergiss den Zwischenwertsatz nicht.
Du müßtest erhalten: g hat genau eine reelle Nullstelle
Edit: was ich zum Fall "n gerade" gesagt habe kann man vergessen !!
Hier die Korrektur: https://matheraum.de/read?i=695520
Fall 2: n ungerade. Zeige:
h'(x) <0 für x>0, h'(0)=0 und h'(x) >0 für x<0
Somit ist h in [0, [mm] \infty) [/mm] streng fallend, h ist in [mm] (-\infty,0] [/mm] streng wachsend und es ist h(0)=1
mach Dir nun klar, dass h und damit auch g, nun genau 2 reelle Nulstellen hat.
Edit: Leider ist mir auch im Fall 2 ein Fehler unterlaufen.
Hier
https://matheraum.de/read?i=696447
eine hoffentlich richtige Lösung
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mi 23.06.2010 | | Autor: | poly314 |
Hi,
also ich komme auf eine einfache Ableitung h'(x) allerdings ist h'(0) [mm] \not= [/mm] 0...
h(x)= [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!} e^{-x}
[/mm]
h'(x) = u'*v + u*v' nach Produktregel
h'(x) =( [mm] \summe_{k=0}^{n-1}\bruch{x^{k}}{k!} e^{-x})- [/mm] ( [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!} e^{-x})
[/mm]
h'(x) = - [mm] \bruch{x^{n}}{n!}e^{-x}
[/mm]
Wo habe ich denn falsch differenziert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mi 23.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> also ich komme auf eine einfache Ableitung h'(x)
> allerdings ist h'(0) [mm]\not=[/mm] 0...
> h(x)= [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!} e^{-x}[/mm]
> h'(x) =
> u'*v + u*v' nach Produktregel
> h'(x) =( [mm]\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{x^{k}}{k!} e^{-x})-[/mm] (
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!} e^{-x})[/mm]
> h'(x) = -
> [mm]\bruch{x^{n}}{n!}e^{-x}[/mm]
> Wo habe ich denn falsch differenziert?
Fuer deine Ableitung gilt doch $h'(0) = 0$, da [mm] $0^n [/mm] = 0$ ist!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mi 23.06.2010 | | Autor: | poly314 |
Hey felix, kannst du mir bei meiner Frage weiterhelfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Do 24.06.2010 | | Autor: | poly314 |
Wichtige Frage: Meint ihr mit n gerade bzw. ungerade dass der letzte Summand einen geraden bzw. ungeraden Exponenten hat? (so habe ich es verstanden)
Oder dass alles Exponenten von [mm] x^k [/mm] gerade bzw. ungerade sind?
Dass spielt bei g mit x--->-infinity ja eine Rolle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Do 24.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
alle k gerade geht doch gar nicht??. also n gerade, wie es in der Formel vorkommt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 23.06.2010 | | Autor: | poly314 |
a)Fall n gerade: dann ist g(x) für + und - unendlich streng monoton wachsend
(aber für den ZWS wäre ein VZW gut,oder?)
b) kann ich also sagen: wenn n gerade, hat g eine reelle NS
wenn n ungerade, hat g zwei reelle NS ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Do 24.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> a)Fall n gerade: dann ist g(x) für + und - unendlich
> streng monoton wachsend
wie kommst du darauf?
felix hatte dir doch schon gesagt, du sollst h und nicht g betrachten, dein Hinweis sat das auch? was hast du denn nun mit den Hinweisen und Hilfen gemacht, wenn du wieder mit g argumentierst?
> (aber für den ZWS wäre ein VZW gut,oder?)
>
> b) kann ich also sagen: wenn n gerade, hat g eine reelle
> NS
> wenn n ungerade, hat g
> zwei reelle NS ?
Wenn du die richtigen Argumente verwendest, ja, sonst nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 24.06.2010 | | Autor: | poly314 |
Ich habe g untersucht, weil fred97 oben geschrieben hat: "Nun betrachte g für x und vergiss den Zwischenwertsatz nicht."
Also soll ich h(x) auf ihr Verhalten für +/- unendlich untersuchen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Do 24.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe g untersucht, weil fred97 oben geschrieben hat:
> "Nun betrachte g für x und vergiss den Zwischenwertsatz
> nicht."
> Also soll ich h(x) auf ihr Verhalten für +/- unendlich
> untersuchen?
Nein ! Untersuche g
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Do 24.06.2010 | | Autor: | poly314 |
Hallo Fred
Wir meinen doch beide mit g doch die ursprüngliche Funktion,nicht?
Wenn ich davon ausgehe, dass n gerade ist, also der letzte Summand immer >0
läuft g doch für x gegen -unendlich auch gegen unendlich....und ich weiß, dass g(0) = 0 ist. Ist das dann die einzige NS? Aber der ZWS...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Do 24.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
> Wir meinen doch beide mit g doch die ursprüngliche
> Funktion,nicht?
> Wenn ich davon ausgehe, dass n gerade ist, also der letzte
> Summand immer >0
> läuft g doch für x gegen -unendlich auch gegen
> unendlich....und ich weiß, dass g(0) = 0 ist. Ist das dann
> die einzige NS? Aber der ZWS...
ich muß mich entschuldigen ! In meiner ersten Antwort ganz oben habe ich mich vertan !
Es ist g(x) = $ [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!}. [/mm] $ und h(x) = [mm] g(x)e^{-x}
[/mm]
Wir wissen, dass im Falle n gerade, die Funktion h streng fallend ist. Weiter gilt:
h(x) [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty [/mm] und h(x) [mm] \to \infty [/mm] für x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty
[/mm]
Somit hat in diesem Fall h keine Nullstelle und daher g auch keine.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Do 24.06.2010 | | Autor: | poly314 |
vielen dank an alle!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Eine weitere Möglichkeit:
Für n [mm] \in \IN_0 [/mm] sei [mm] g_n(x) [/mm] = $ [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!}. [/mm] $
Dann ist [mm] $g_n' [/mm] = [mm] g_{n-1}$ [/mm] für n>0
Fall 1: n ist gerade: Annahme [mm] g_n [/mm] hat eine Nullstelle [mm] x_0. [/mm] Dann ist [mm] x_0 [/mm] <0 und nach dem Satz von Taylor existiert ein t zwischen [mm] x_0 [/mm] und 0 mit:
(*) [mm] $e^{x_0}= g_n(x_0) [/mm] + [mm] \bruch{e^t}{(n+1)!}*x_0^{n+1}= \bruch{e^t}{(n+1)!}*x_0^{n+1}$
[/mm]
Da n+1 ungerade ist und [mm] x_0<0, [/mm] ist die rechte Seite von (*) negativ ! Widerspruch !
[mm] g_n [/mm] hat also keine Nullstelle.
Fall 2. n ungerade. Es gilt:
[mm] $g_n(x) \to \infty$ [/mm] für x [mm] \to \infty
[/mm]
und
[mm] $g_n(x) \to -\infty$ [/mm] für x [mm] \to -\infty
[/mm]
Nach dem Zwischenwertsatz hat [mm] g_n [/mm] eine Nullstelle [mm] x_1. [/mm] Annahme, [mm] x_2 [/mm] ist eine weitere Nullstelle von [mm] g_n, [/mm] also [mm] x_1 \ne x_2
[/mm]
Der Satz von Rolle liefert nun: es ex. ein s mit [mm] g_n'(s)=0
[/mm]
Dann hat aber [mm] g_{n-1} [/mm] eine Nullstelle, was aber wegen Fall 1 nicht möglich ist.
Dieser Widerspruch zeigt: [mm] g_n [/mm] hat genau eine Nullstelle
FRED
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