Nullstellen Polynom 3.Grades < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Ganz |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe hier ein Polynom dritten Grades und ich soll die Nullstellen davon bestimmen.
f= [mm] 8x^3-6x-1 \in \IQ [/mm]
Als Hilfestellung ist angegeben, dass man da mit y=2x substituieren soll.
Das habe ich jetzt auch gemacht:
[mm] y^3-3y-1=0 [/mm]
Jetzt kann ich ja immer noch keine Nullstellen raten. Wir haben auch kein Verfahren gelernt oder so. Ich weiß jetzt nicht wie ich das machen soll.
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Hallo Ganz,
bist Du sicher, dass die Aufgabe so stimmt? Dann wäre sie ziemlich fies.
> Hallo, ich habe hier ein Polynom dritten Grades und ich
> soll die Nullstellen davon bestimmen.
> f= [mm]8x^3-6x-1 \in \IQ[/mm]
> Als Hilfestellung ist angegeben, dass man da mit y=2x
> substituieren soll.
> Das habe ich jetzt auch gemacht:
> [mm]y^3-3y-1=0[/mm]
> Jetzt kann ich ja immer noch keine Nullstellen raten. Wir
> haben auch kein Verfahren gelernt oder so. Ich weiß jetzt
> nicht wie ich das machen soll.
Hattet Ihr das ![[]](/images/popup.gif) Eisenstein-Kriterium?
Wenn Du noch einmal substituierst mit y=z+1, bekommst Du [mm] z^3+3z^2-6.
[/mm]
Nach Eisenstein ist dieses Polynom irreduzibel über [mm] \IQ, [/mm] hat also auch keine rationalen Nullstellen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Ganz |
Ja, also ich soll zeigen, dass dieses Polynom irreduzibel ist und das Eisenstein Kriterium hatte wir leider nicht. Wir habe nur gelernt, dass ein Polynom 2. oder 3. Grades reduzibel ist, wenn es eine Nullstelle hat in dem genannte Körper.
Kann ich das irgendwie anders machen??
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja, also ich soll zeigen, dass dieses Polynom irreduzibel
> ist und das Eisenstein Kriterium hatte wir leider nicht.
> Wir habe nur gelernt, dass ein Polynom 2. oder 3. Grades
> reduzibel ist, wenn es eine Nullstelle hat in dem genannte
> Körper.
> Kann ich das irgendwie anders machen??
Kennst du folgende Aussage?
Ist $f [mm] \in [/mm] R[X]$ ein Polynom ueber einem faktoriellen Ring $R$ mit $f = [mm] \sum_{i=0}^n a_i X^i$ [/mm] mit [mm] $a_n \neq [/mm] 0$, und sind $p, q [mm] \in [/mm] R$ teilerfremd mit [mm] $f(\frac{p}{q}) [/mm] = 1$, so gilt $p [mm] \mid a_0$ [/mm] und $q [mm] \mid a_n$.
[/mm]
Manchmal hat man auch den Spezialfall [mm] $a_n [/mm] = 1$ und $q = 1$; das wuerde bei dir nach der Substitution reichen. Andernfalls kannst du diese Aussage auch fuer diesen Fall direkt beweisen: nimm an, es gibt $p, q [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $p, q$ teilerfremd und $f(p/q) = 0$, wobei $f = [mm] y^3 [/mm] - 3 y - 1 [mm] \in \IZ[y]$. [/mm] Dann gilt $0 = [mm] p^3 [/mm] - 3 p [mm] q^2 [/mm] - [mm] q^3$. [/mm] Damit kannst du evtl. etwas anfangen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
also damit bekommst du auch nur, dass es keine rationalen Nullstellen gibt.
LG Felix
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