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| Aufgabe | Bestimme die Nullstellen folgender Funktion:
y(t)=0,5*(sin(w1*t)+sin(w2*t))
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Das w in obiger Fragestellung ist natürlich das Omega für den Drehwinkel.
Eine Möglichkeit für Nullstellen habe ich gefunden. Da hier keine Phasenverschiebung vorliegt, müsste eine Nullstelle dann vorliegen, wenn beide Sinusterme gleichzeitig gleich Null ergeben. Dies ist dann der Fall, wenn die k aus dem Lösungsterm t=k*pi/n1 bzw. t=k*pi/n2 das gleiche Verhältnis wie w1/w2 haben.
Für die zweite Möglichkeit lautet meine Überlegung, dass genau dann eine Nullstelle vorliegt, wenn der erste und der zweite Sinusterm betragsgleich aber vom Vorzeichen her unterschiedlich sind. Wie drücke ich das jetzt mathematisch richtig aus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Deine zweite Möglichkeit beinhaltet die erste.
Eine Nullstelle von [mm] y(t)=\bruch{1}{2}*(\sin{(\omega_1*t)+\sin{(\omega_2*t)}}) [/mm] liegt vor, wenn
[mm] \sin{(\omega_1*t)=-\sin{(\omega_2*t)}}
[/mm]
Eine Lösung für die Beziehung von [mm] \omega_1 [/mm] und [mm] \omega_2 [/mm] ist ja leicht zu finden. Bedenke aber erstens die Periodizität des Sinus und zweitens die Tatsache, dass mit Ausnahme der Werte [mm] \pm1 [/mm] der Sinus in jeder Periode jeden Wert genau zweimal einnimmt. Das gilt natürlich für beide Sinusterme der Gleichung.
Lass Dir versuchsweise ein paar Beispielgraphen anzeigen/ausdrucken, das hilft vielleicht.
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Hallo,
danke erst mal für die schnelle Antwort.
Ich habe mir zwei Graphen aufgezeichnet, einmal mit w1=2*pi und einmal mit w2=4*pi. So bin ich auf die erste Lösung gekommen.
Ich sehe auch, dass es jeweils zwei Stellen vor und nach der gemeinsamen Nullstelle der einzelnen Sinusterme gibt, bei denen offensichtlich die Gesamtfunktion eine Nullstelle hat. Auf die von dir beschriebene Bedingung
$ [mm] \sin{(\omega_1\cdot{}t)=-\sin{(\omega_2\cdot{}t)}} [/mm] $
bin ich auch gekommen, aber wie kann ich diese jetzt in Abhängigkeit von t ausdrücken?
Das ist mein Problem.
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Du erhältst auf diesem Weg zwar das gleiche Ergebnis, aber ich finde den von weduwe vorgeschlagenen Weg über ein Additionstheorem deutlich zielführender!
Mach lieber erstmal da weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 Mo 08.12.2008 | | Autor: | weduwe |
[mm] sin\alpha [/mm] + [mm] sin\beta=2\cdot sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}
[/mm]
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Hallo, danke für die Antwort. Leider verstehe ich den Bezug zu meiner Frage nicht so ganz ....?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mo 08.12.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo, danke für die Antwort. Leider verstehe ich den Bezug
> zu meiner Frage nicht so ganz ....?
der ist doch offensichtlich
[mm] y(t)=sin\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\cdot cos\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t=0
[/mm]
und die nullstellen eines produktes sind doch leicht(er) zu finden.
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Hallo und nochmals danke für die Antwort.
aaaaah, das ist eine allgemeingültige Umformung aus einem Formelwerk, ja? Und dann kann ich für die umgeformte Funktion weiter die Nullstelle bestimmen?
Grüße
Ultraviolett
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mo 08.12.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo und nochmals danke für die Antwort.
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> aaaaah, das ist eine allgemeingültige Umformung aus einem
> Formelwerk, ja? Und dann kann ich für die umgeformte
> Funktion weiter die Nullstelle bestimmen?
>
> Grüße
> Ultraviolett
die nullstellen der sinus- und cosinusfunktion sind ja hinreichende bekannt.
die kannst du nun sofort hinschreiben
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