Nullstellen der Zetafunktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wie kommt man darauf, dass die Zetafunktion als Nullstellen unter anderem {-2,-4,-6...} hat?
Die Zetafunktion ist eine Reihe , bestehend aus positiven Summanden,und kann nicht Null werden.
Die Produktformel von Euler kann auch auch nicht Null werden.
Also, ich stehe völlig auf dem Schlauch.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Fr 11.07.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Igor!
> wie kommt man darauf, dass die Zetafunktion als Nullstellen
> unter anderem {-2,-4,-6...} hat?
> Die Zetafunktion ist eine Reihe , bestehend aus positiven
> Summanden,und kann nicht Null werden.
Als Reihe [mm] \summe_{n}^{}\bruch{1}{n^{s}} [/mm] ist sie zunächst nur für Re(s) > 1 definiert (bzw. wenn du nur reelle s betrachtest, für s > 1). Man kann sie aber analytisch fortsetzen.
> Die Produktformel von Euler kann auch auch nicht Null
> werden.
> Also, ich stehe völlig auf dem Schlauch.
Um da weiterzukommmen, müßtest du dich mit Funktionentheorie beschäftigen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Sa 12.07.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wenn ich jetzt konkret ein paar Nullstellen der Zetafunktion bestimmen möchte( z.B zeigen , dass -2 eine Nullstelle dieser Funktion ist.
Wie soll man hier vorgehen?
Kannst Du es vielleicht bitte als ein "Kochrezept" (grob)
angeben?
Bzw. worüber soll ich genauer lesen?
Ich habe über die analytische Fortsetzung einbisschen was gelesen, aber hat es mich nicht wirklich weitergebracht.
Dort stand , dass es eine Verallgemeinerung der Zetafunktion gibt, die mit der Zetafunktion identisch ist.
Heisst es, dass man die Nullstellen von der verallgemeinerten Zetafunktion bestimmt?
Die Zeta Funktion ist im reellen nur für s>1 definiert. D.h bei dieser Funktion kann man keine Nullstellen bestimmen, sondern nur von der verallgemeinerten?
Ich habe in einer Zeitschrift die Formel für die Zetafunktion gesehen und paar Zeilen darunter waren die Nullstellen ( trivialen und die vermuteten nichttrivialen) angegeben.
Ich dachte, dass diese Nullstellen von dieser Zetafunktion mit s>1 sind.
Deshalb bin ich darüber verwirrt, um wessen Nullstellen es sich also wirklich geht, um die von der in der Zeitschrift angegebenen Formel oder von einer verallgemeinerten Zetafunktion, von der in der Zeitschrift nichts gesagt wurde.
Ich nehme an, dass es hier für mich um ein neues Verfahren geht, den ich noch studieren soll.
Jedoch, wie soll ich hier am besten vorgehen, denn wenn ich jetzt einfach über die analytische Fortsetzung was lese, bringt das mich nicht direkt zu der Nullstellenbestimmung der Zetafunktion (oder der verallgemeinerten Zetafunktion![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ).
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Sa 12.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Die Definition der Zetafunktion wie du sie meinst ist [mm] $\zeta(s):=\sum_{n\ge1}n^{-s}$. [/mm] Wie du schon richtig festgestellt hast divergiert diese Reihe auf [mm] $\IR$ [/mm] mit $s<1$, insbesondere hat die Reihe auch nirgendwo ne Nullstelle. In dieser Situation sucht man in der Mathematik häufig nach Fortsetzungen, die auf gewisse Weise schön (z.B. stetig) sind. In diesem Fall hat man halt ne Funktion [mm] $\tilde{\zeta}$ [/mm] gefunden, sodass [mm] $\zeta(s)=\tilde{\zeta}(s)$ [/mm] für alle s, für die [mm] $\zeta(s)$ [/mm] definiert ist. Und was so besonders schön an dieser Fortsetzung ist, ist dass sie nicht nur auf ganz [mm] $\IC\setminus\{1\}$ [/mm] definiert ist, sondern darüber hinaus dort analytisch, d.h. komplex differenzierbar, ist (das nennt man auch meromorph). Und diese Funktion kann natürlich jetzt schon irgendwo Nullstellen haben, und alles was du so über die Zetafunktion liest bezieht sich eigentlich auf diese meromorphe Fortzsetzung, insbesondere kannst du die obige Defintion vergessen, wenn es um die Nullstellen geht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 13.07.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo pelzig,
was mir eigentlich unklar ist, dass die beiden Funktionen gleich sind und eine Funktion hat Nullstellen und die andere nicht.
Man bildet also einfach die Fortsetzung und daraus werden die Nullstellen bestimmt?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 14.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> Man bildet also einfach die Fortsetzung und daraus werden
> die Nullstellen bestimmt?
Genau. Wie gesagt, vergiss das mit der Reihe einfach, die "richtige" Zetafunktion ist halt ganz anders definiert, schau z.B. mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Falls du dich wirklich dafür interessierst, ich habe z.B. in "Analysis II" von Herbert Amann (Birkhäuser Verlag) S. 62ff was zu der meromorphen Fortsetzung gefunden und eine Skizze was diese ominöse Funktion mit dem Primzahlsatz zu tun hat usw. Habe aber leider im Moment keine Zeit mich damit zu beschäftigen auch wenn ich es sehr interssant finde.
Gruß, Robert
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