Nullstellen einer COS-Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Di 08.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo Leute.
Wieder einmal stehe ich vor einem Fiasko.
Es geht um die Nullstellenbestimmung der Funktion
f(x) = cos (x) + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
f(x) = 0 | - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
cos(x) =- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | :cos
Durch den acos komme ich auf x= [mm] \bruch{2}{3} \pi
[/mm]
Allgemein sind die Nullstellen der Cos-Funktion doch
[mm] x=(2n-1)\bruch{\pi}{2} [/mm] mit n=1,2,3,....
Und wie kann ich nun aus dieser Erkenntnis darauf schließen, dass eine weitere Nullstelle bei meinem Beispiel bei x= [mm] \bruch{4}{3} \pi [/mm] liegt?
Ich verstehe nicht, wie man auf die weiteren Nullstellen kommt, denn bei g(x) = cos (x) ost doe Nullstelle bei [mm] 0,5\pi [/mm] bei [mm] 1,5\pi, 2,5\pi. [/mm] Es wird also immer 1 dazu addiert.
Bei meinem Beispiel aber nicht, warum?????
Danke für eure Hilfe.
Grüße Johann
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Hallo Phoney,
> Hallo Leute.
> Wieder einmal stehe ich vor einem Fiasko.
> Es geht um die Nullstellenbestimmung der Funktion
>
> f(x) = cos (x) + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> f(x) = 0 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
> cos(x) =- [mm]\bruch{1}{2}[/mm] | :cos
>
> Durch den acos komme ich auf x= [mm]\bruch{2}{3} \pi[/mm]
>
> Allgemein sind die Nullstellen der Cos-Funktion doch
>
> [mm]x=(2n-1)\bruch{\pi}{2}[/mm] mit n=1,2,3,....
>
> Und wie kann ich nun aus dieser Erkenntnis darauf
> schließen, dass eine weitere Nullstelle bei meinem Beispiel
> bei x= [mm]\bruch{4}{3} \pi[/mm] liegt?
Der [mm]\cos\;x[/mm] ist im Intervall [mm]\left] { \frac{\pi }
{2},\;\frac{{3\;\pi }}{2}} \right[[/mm] negativ. Da in diesem Intervall gilt:
[mm]
\cos \left( {\pi - \;\varphi } \right)\; = \;\cos \left( {\pi + \;\varphi } \right)[/mm]
Gilt für die eine Nullstelle
[mm]x_1 \; = \;\frac{{2\;\pi }}{3}\; = \;\pi \; - \;\varphi [/mm]
so gilt für die andere Nullstelle:
[mm]
x_2 \; = \;\pi \; + \;\varphi \; = \;\pi \; + \;\left( {\pi \; - \;\frac{{2\;\pi }}
{3}} \right)\; = \;\frac{{4\;\pi }}{3}[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, wie man auf die weiteren Nullstellen
> kommt, denn bei g(x) = cos (x) ost doe Nullstelle bei
> [mm]0,5\pi[/mm] bei [mm]1,5\pi, 2,5\pi.[/mm] Es wird also immer 1 dazu
> addiert.
Der Cosinus ist [mm]2\;\pi[/mm] periodisch. Das gilt nur für Werte [mm]\cos\;x\;\not=\,0[/mm]. Für [mm]\cos\;x\;=\,0[/mm] sind die zugehörigen x-Werte [mm]\pi[/mm]-periodisch.
> Bei meinem Beispiel aber nicht, warum?????
Vermutlich wurde hier das Intervall auf [mm]\left[ { 0,\;2\;\pi \right][/mm] begrenzt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Danke erst einmal Mathepower.
Trotzdem hätte ich noch mal eine kleine Frage Frage
> negativ. Da in diesem Intervall gilt:
>
> [mm]
\cos \left( {\pi - \;\varphi } \right)\; = \;\cos \left( {\pi + \;\varphi } \right)[/mm]
>
> Gilt für die eine Nullstelle
>
> [mm]x_1 \; = \;\frac{{2\;\pi }}{3}\; = \;\pi \; - \;\varphi[/mm]
>
> so gilt für die andere Nullstelle:
>
> [mm]
x_2 \; = \;\pi \; + \;\varphi \; = \;\pi \; + \;\left( {\pi \; - \;\frac{{2\;\pi }}
{3}} \right)\; = \;\frac{{4\;\pi }}{3}[/mm]
Für welches Intervall gibt es denn diese Regel für die Berechnung der Nullstellen? Gilt das für jede cos-Funktion (Bsp.: cos(3x) = 0 ; 4cos(x)=0 )?
In meiner Formelsammlung steht nicht einmal etwas ähnliches dazu.
Wäre schön, wenn man mir dazu noch einmal etwas sagen könnte.
Grüße Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Phoney,
ich versuche mal, Deine Frage ausgehend von der einfachen Gleichung
$ [mm] \cos [/mm] (x) = 0 $ zu beantworten. Diese Gleichung ist erfüllt für alle Werte für die gilt:
$ x = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + k [mm] \cdot \pi [/mm] $ mit k als einem Wert aus den ganzen Zahlen. Diese Darstellung berücksichtigt das Wissen, dass die Cosinusfunktion im Abstand von 180 Grad eine Nullstelle besitzt und davon unendlich viele.
Die gleiche Überlegung gilt für zusammengesetzte Argumente einer Cosinusfunktion, wie beispielsweise bei
$ [mm] \cos(2x+1) [/mm] = 0 $. Auch hier kommt wieder dieselbe Überlegung dran wie oben beschrieben. Die Gleichung ist erfüllt für alle Werte für die gilt:
$ 2x+1 = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + k [mm] \cdot \pi$.
[/mm]
Ein Auflösen nach x ergibt hier:
$ x = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{k}{2} \cdot \pi [/mm] $.
Die Periodizität der Gleichung und damit auch das Auftreten der Nullstellen wird durch das Argument der Cosinusfunktion bestimmt, aber die Vorgehensweise zur Bestimmung der Nullstellen ist immer dieselbe. Man darf nur nicht den häufig auftretenden Fehler machen, nur die Hauptlösung zu finden und dann einfach Vielfache von $ [mm] \pi$ [/mm] dazuzuaddieren oder davon zu subtrahieren. Das führt zu Fehlern, sobald das Argument der Cosinusfunktion nicht einfach nur $ x$ ist.
Hoffe, damit wird das Ganze klarer.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Do 10.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Danke Infinit, für diese Antwort, allerdings bin ich nur wenig schlauer als vorher.
> Die gleiche Überlegung gilt für zusammengesetzte Argumente
> einer Cosinusfunktion, wie beispielsweise bei
> [mm]\cos(2x+1) = 0 [/mm]. Auch hier kommt wieder dieselbe
> Überlegung dran wie oben beschrieben. Die Gleichung ist
> erfüllt für alle Werte für die gilt:
> [mm]2x+1 = \bruch{\pi}{2} + k \cdot \pi[/mm].
> Ein Auflösen nach x
> ergibt hier:
> [mm]x = \bruch{\pi}{4} - \bruch{1}{2} + \bruch{k}{2} \cdot \pi [/mm].
Was genau bringt mir denn hier das Auflösen? wenn ich das nach x umgestellt habe, und das wieder hier einsetzen würde: [mm] \cos(2x+1) [/mm] = 0
Dann hätte ich da doch immernoch ein k drin. Ich weiß genau, dass das aber nicht gemeint war.
Also kann man auch diese Nullstellen berechnen, ohne ein entsprechendes Näherungsverfahren?
Ich verstehe also nicht, was mir das Umstellen bringt. Was genau muss denn für x herauskommen? Etwa [mm] \bruch{\pi}{2}? [/mm] Achso, ist es etwas schon die Lösung für die Nullstellen, wenn man da ein k einsetzt, dass man dann bereits die Nullstellen hat? Wann funktioniert dieser Trick dann nicht? Klar, bei so häßlichen Additionssachen wie
f(x) =sin(3x-4)+tan(3x)-10cot(-x).
Mein Text ist ein bisschen komisch geschrieben, das liegt daran, dass ich mit dem Berechnen von solchen Nullstellen Schwierigkeiten habe.
Danke an Alle.
Grüße Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Do 10.11.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Phoney,
wie Du beim Schreiben Deiner Antwort richtig erkannst hast, ist dies eine Darstellungsmöglichkeit für alle Nullstellen der gesuchten Gleichung, solange diese Gleichung nicht zu komisch aussieht. Ein Beispiel hast Du ja selbst gegeben, hier dürfte es wirklich schwerfallen ohne Näherungsverfahren die Nullstellen zu bestimmen, eventuell exisitieren auch keine. Sobald aber eine Gleichung so einfach auflösbar ist wie in Deinem ersten Beispiel, kommst Du mit dieser Methode weiter. Die Größe k berücksichtigt einfach die Periodizität der trigonometrischen Funktionen und liefert Dir alle Nullstellen mit. Ich wüsste jetzt aber kein Verfahren, mit dessen Hilfe man einer beliebigen trigonometrischen Gleichung ansehen kann, ob sie auf diese Weise lösbar ist oder nicht. Sorry, hier gibt es keine einfache Regel, die man einfach ohne Probleme anwenden kann.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Do 10.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend.
Vielen Dank für die weitere Antwort, Infinit. Den Trick werde ich mir merken.
Grüße Johann
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