Nullstellen eines Polynoms < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Di 10.05.2005 | | Autor: | Becks |
Ich habe da ein kleines Problem mit ner Aufgabenstellung.
Ich soll beweisen, dass alle Nullstellen des Polynoms
p(z)=16 [mm] z^{5} [/mm] - 240 [mm] z^{4} [/mm] +1432 [mm] z^{3} [/mm] - 4244 [mm] z^{2} [/mm] + 6240z - 3624
innerhalb des Kreises [mm] B_{1000} [/mm] liegen. Entwickeln sie p um den Punkt 3, um einen möglichst kleinen Radius r zu finden, so dass alle Nullstellen von p in [mm] B_{r} [/mm] (3) liegen.
Wie bekomme ich denn die Nullstellen? Durch Ausklammern? Ich habe schon geteilt, zusammengefasst, aber ich bekomme keine Lösung raus.
Ist das irgendwie ein Verfahren oder muss ich das noch weiter mit Ausklammern probieren?
Was ist denn mit [mm] B_{1000} [/mm] gemeint. Ist das einfach ein Kreis mit dem Radius 1000? :) vielleicht blöde Frage.
Und wie sieht der Punkt 3 aus. Ist das der mit (3,0)?
Ich hoffe ihr könnt mir da etwas helfen.
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Hallo,
> p(z)=16 [mm]z^{5}[/mm] - 240 [mm]z^{4}[/mm] +1432 [mm]z^{3}[/mm] - 4244 [mm]z^{2}[/mm] +
> 6240z - 3624
>
> innerhalb des Kreises [mm]B_{1000}[/mm] liegen. Entwickeln sie p um
> den Punkt 3, um einen möglichst kleinen Radius r zu finden,
> so dass alle Nullstellen von p in [mm]B_{r}[/mm] (3) liegen.
Ich denke, hier hilft der Satz von Rouché weiter.
Dieser Satz trifft eine Aussage über die Nullstellen in einem gewissen Bereich.
>
> Wie bekomme ich denn die Nullstellen? Durch Ausklammern?
> Ich habe schon geteilt, zusammengefasst, aber ich bekomme
> keine Lösung raus.
> Ist das irgendwie ein Verfahren oder muss ich das noch
> weiter mit Ausklammern probieren?
>
Es gibt nur Näherungsverfahren zur Bestimmung der Nullstellen von Polynomen höher als 4. Grades. Von Ausnahmen natürlich abgesehen.
> Was ist denn mit [mm]B_{1000}[/mm] gemeint. Ist das einfach ein
> Kreis mit dem Radius 1000? :) vielleicht blöde Frage.
Ja, das ein Kreis um den Ursprung mit Radius 1000.
> Und wie sieht der Punkt 3 aus. Ist das der mit (3,0)?
Das ist ein Punkt dessen Realteil 3 und dessen Imaginärteil 0 ist.
[mm]B_{r} \left( c \right)\; = \;\left\{ {z\; \in \;\IC\;:\;\left| {z\; - \;c} \right|\; < \;r} \right\}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Becks |
Hmm, ich werde irgendwie nicht daraus schlau. Kann man nicht dieses Polynom irgendwie umwandeln? So das man ne Division macht oder ähnliches, damit das Polynmom handlicher wird.
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Hallo,
> Hmm, ich werde irgendwie nicht daraus schlau. Kann man
> nicht dieses Polynom irgendwie umwandeln? So das man ne
> Division macht oder ähnliches, damit das Polynmom
> handlicher wird.
Das Polynom p(z) kannst Du auf Normalform bringen, und war in dem Du durch 16 teilst. Weiterhin kannst Du das jetz in Normalform vorliegende Polynom reduzieren, und zwar so, daß der Koeffizient vor [mm]z^{4}[/mm] verschwindet. Dies erreichts Du durch eine lineare Transformation. Weiter kann man glaube ich nichts machen.
Gruß
MathePower
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