Nullstellen f(x) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 So 25.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Nullstellen für folgende Funktion:
[mm] f(x)=10^6*x^2-ln(x)-8 [/mm] |
Hi!
Kann man hier überhaupt nach x auflösen?
Komme durch umformungen nicht weiter.
Einzig kann ich sagen, dass x>0 sein muss wegen ln(x)
Ich könnte hier ja eine NewtonIteration durchführen nur muss ich dafür doch wissen wieviele Nullstellen es gibt und wo diese ungefähr liegen....
Könnte ja auch sein, dass die Funktion gar keine Nullstellen besitzt.
Danke und Gruß.
tedd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 So 25.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
erst einmal würde ich die Ableitung berechnen.
[mm] f'(x)=2*10^6*x-\bruch{1}{x}=0, [/mm] wenn
[mm] x=\pm\wurzel{\bruch{1}{2*10^6}}
[/mm]
[mm] f'(x_{}) [/mm] hat also zwei reelle Nullstellen, dann folgt doch nach dem Satz von Rolle, dass f drei Nullstellen hat.
Ich würde mir Gedanken über die Monotonie von f machen und dann weißt du zumindest, in welchem Intervall du nach geeigneten Werten für das Newtonverfahren suchen musst.
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 So 25.01.2009 | | Autor: | Blech |
> Bestimmen Sie die Nullstellen für folgende Funktion:
>
> [mm]f(x)=10^6*x^2-ln(x)-8[/mm]
> Hi!
> Kann man hier überhaupt nach x auflösen?
Nein.
> Einzig kann ich sagen, dass x>0 sein muss wegen ln(x)
Ja.
-Jetzt schaust Du Dir das Verhalten der Funktion für [mm] $x\to [/mm] 0$ und [mm] $x\to\infty$ [/mm] an,
-betrachtest Dann ihre Ableitung,
-schaust dann wo das (eindeutige) Minimum liegt
EDIT:
-und schließt daraus, daß es *zwei* Nullstellen gibt.
Die ungefähre Lage kriegst Du wegen der steilen Steigung an den Grenzen des Definitionsbereichs auch.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 So 25.01.2009 | | Autor: | tedd |
Alles klar!
Danke für die Antworten 
> -Jetzt schaust Du Dir das Verhalten der Funktion für [mm]x\to 0[/mm]
> und [mm]x\to\infty[/mm] an,
[mm] \limes_{x\rightarrow0}10^6*x^2-\ln(x)+8=0-(-\infty)+8=\infty
[/mm]
Bei dem Grenzwert für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] bin ich mir nicht 100% sicher:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}10^6*x^2-\ln(x)+8=\limes_{x\rightarrow\infty}10^6-\bruch{\ln(x)}{x^2}+\bruch{8
}{x^2}=...
[/mm]
NR:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln(x)}{x^2}\underbrace{=}_{\bruch{\infty}{\infty}}\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{x}}{2*x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{2*x^2}=0
[/mm]
[mm] ...=10^6-0+0=10^6
[/mm]
> -betrachtest Dann ihre Ableitung,
[mm] f'(x)=2*10^6*x-\bruch{1}{x}
[/mm]
f'(x)=0
[mm] \gdw 0=2*10^6*x-\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \gdw 1=2*10^6*x^2
[/mm]
[mm] \gdw x=+\sqrt{\bruch{1}{2*10^6}}
[/mm]
nur + weil x [mm] \in ]0;\infty]
[/mm]
[mm] f''(x)=2*10^6+\bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] f''(\sqrt{\bruch{1}{2*10^6}})=2*10^6+2*10^6=4*10^6 [/mm] > 0 [mm] \to [/mm] Minimum in [mm] f(\sqrt{\bruch{1}{2*10^6}})
[/mm]
Aber garantiert mir das, dass ich zwei Nullstellen habe?
Denn für [mm] f(\sqrt{\bruch{1}{2*10^6}})=15,75 [/mm] und müsste ich da nicht einen negativen Wert rausbekommen wenn ich 2 Nullstellen hätte?
>
> -schaust dann wo das (eindeutige) Minimum liegt
>
> EDIT:
> -und schließt daraus, daß es *zwei* Nullstellen gibt.
>
> Die ungefähre Lage kriegst Du wegen der steilen Steigung an
> den Grenzen des Definitionsbereichs auch.
>
> ciao
> Stefan
Danke und Gruß,
tedd
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Guten Abend,
einen Zwischenschritt verstehe ich nicht.
Wenn du [mm] x^2 [/mm] ausklammerst, dann hast du doch das [mm] x^2 [/mm] vergessen...
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}10^6\cdot{}x^2-\ln(x)+8=\limes_{x\rightarrow\infty}\red{x^{2}*[}10^6-\bruch{\ln(x)}{x^2}+\bruch{8 }{x^2}\red{]}
[/mm]
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Blech |
> Alles klar!
> Danke für die Antworten
>
> > -Jetzt schaust Du Dir das Verhalten der Funktion für [mm]x\to 0[/mm]
> > und [mm]x\to\infty[/mm] an,
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}10^6*x^2-\ln(x)+8=0-(-\infty)+8=\infty[/mm]
>
> Bei dem Grenzwert für [mm]x\rightarrow\infty[/mm] bin ich mir nicht
> 100% sicher:
>
> [mm][mm] \limes_{x\rightarrow\infty}10^6*x^2-\ln(x)+8
[/mm]
[mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}x^2(10^6-\bruch{\ln(x)}{x^2}+\bruch{8
}{x^2})=...[/mm]
Das [mm] $x^2$ [/mm] geht gegen unendlich und die Klammer gegen [mm] $10^6$, [/mm] wie Du unten gezeigt hast, also geht's gegen unendlich. Polynomiales Wachstum dominiert den Logarithmus.
>
> NR:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln(x)}{x^2}\underbrace{=}_{\bruch{\infty}{\infty}}\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{x}}{2*x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{2*x^2}=0[/mm]
>
> [mm]...=10^6-0+0=10^6[/mm]
> > -betrachtest Dann ihre Ableitung,
> [mm]f'(x)=2*10^6*x-\bruch{1}{x}[/mm]
Das ist eine streng monoton wachsende Funktion.
> f'(x)=0
Mit einer Nullstelle.
Und weil f auf dem ganzen Definitionsbereich stetig differenzierbar ist, haben wir damit genau ein Minimum. (2. Ableitung funktioniert natürlich auch)
> Aber garantiert mir das, dass ich zwei Nullstellen habe?
> Denn für [mm]f(\sqrt{\bruch{1}{2*10^6}})=15,75[/mm] und müsste ich
[mm] $f(\sqrt{\bruch{1}{2*10^6}})=\frac{10^6}{4\cdot 10^6}+\ln(\sqrt{2}\cdot 1000)-8\approx [/mm] -0.5$
oder seh ich da was falsch? Ich bin zuerst auch auf was >0 gekommen, also sag mir ruhig, wenn ich da was verschlimmbessert hab.
> da nicht einen negativen Wert rausbekommen wenn ich 2
> Nullstellen hätte?
Ja. Ich komm nur auf einen negativen Wert =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Mi 28.01.2009 | | Autor: | tedd |
Stimmt hatte mich da irgendwie verrechnet!
Danke für die Hilfe [okay]
Gruß,
tedd
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