Nullstellen ganzer Funktionen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mi 14.05.2014 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Ich bin mal wieder auf eine, so meine ich, schöne Aufgabe zum Thema "Funktionentheorie" gestoßen:
Sei [mm] $f:\IC \to \IC$ [/mm] holomorph und nicht konstant.
Man zeige: es gibt ein $c [mm] \in f(\IC)$ [/mm] so, dass die Funktion $f-c$ nur einfache Nullstellen besitzt. |
Es wäre nett, wenn sich jemand aus dem Kreis der Moderatoren finden würde, der die Aufgabe in der üblichen Weise kennzeichnet.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mi 14.05.2014 | | Autor: | meili |
Bitte nicht auf diese Frage antworten.
Dient nur der weiteren Sichtbarkeit, obiger Frage.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mi 14.05.2014 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Ich versuche mich mal an einer Lösung.
Sei [mm]\Gamma := \{z\in \mathbb{C}: f'(z)=0\}[/mm]. Da f' holomorph ist, ist diese Menge diskret in C und damit abzählbar.
Für jedes [mm]c\in f(\mathbb{C})[/mm] setze [mm]\Gamma_{c} := \{z\in \mathbb{C}: f(z)=c \}[/mm].
Es gibt mit Sicherheit ein c, sodass [mm]\Gamma\cap \Gamma_{c}=\{ \}[/mm], denn sonst wäre [mm]\Gamma[/mm] überabzählbar. Ein solches c ist aber genau was wir suchen.
Viele Grüße,
Berieux
Edit: Anscheinend wurde mein Beitrag als Frage und nicht als Lösungsversuch gekennzeichnet. Falls es jemandem möglich ist diesen Status zu ändern, wäre ich sehr dankbar dafür.
Mir ist mal wieder nicht klar was ich falsch gemacht habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mi 14.05.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Edit: Anscheinend wurde mein Beitrag als Frage und nicht
> als Lösungsversuch gekennzeichnet. Falls es jemandem
> möglich ist diesen Status zu ändern, wäre ich sehr
> dankbar dafür.
> Mir ist mal wieder nicht klar was ich falsch gemacht habe.
Du hast hier nichts falsch gemacht. Deine Antwort bei Übungsaufgaben ist hier im Matheraum eine [mm] \red{\text{Frage}} [/mm] für die Aufgabe, die i.a.R. vom Aufgabensteller dann [mm] \green{\text{beantwortet}} [/mm] wird.
Grüße
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Do 15.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Ich versuche mich mal an einer Lösung.
> Sei [mm]\Gamma := \{z\in \mathbb{C}: f'(z)=0\}[/mm]. Da f'
> holomorph ist, ist diese Menge diskret in C und damit
> abzählbar.
> Für jedes [mm]c\in f(\mathbb{C})[/mm] setze [mm]\Gamma_{c} := \{z\in \mathbb{C}: f(z)=c \}[/mm].
>
> Es gibt mit Sicherheit ein c, sodass [mm]\Gamma\cap \Gamma_{c}=\{ \}[/mm],
> denn sonst wäre [mm]\Gamma[/mm] überabzählbar. Ein solches c ist
> aber genau was wir suchen.
Ja, so kann man das machen. Du solltest vielleicht noch ein Argument ins Spiel bringen: [mm] f(\IC) [/mm] ist überabzählbar, da [mm] f(\IC) [/mm] offen ist.
FRED
>
> Viele Grüße,
> Berieux
>
> Edit: Anscheinend wurde mein Beitrag als Frage und nicht
> als Lösungsversuch gekennzeichnet. Falls es jemandem
> möglich ist diesen Status zu ändern, wäre ich sehr
> dankbar dafür.
> Mir ist mal wieder nicht klar was ich falsch gemacht habe.
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