Nullstellen komplexer Funktion < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Di 05.02.2013 | | Autor: | acid |
| Aufgabe | | Berechnen Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung [mm] z^4 [/mm] + [mm] 2iz^2 [/mm] - 1 = 0. |
Hallo,
mich wundert, warum diese Gleichung nur 2 Lösungen hat, obwohl die höchste Potenz doch die 4 ist. Hat eine komplexe Funktion nicht immer so viele Nullstellen wie ihre Ordnung?
Gerechnet habe ich:
0 = [mm] (z^4 [/mm] + [mm] 2iz^2 [/mm] - 1) = [mm] (z^2 [/mm] + [mm] i)^2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow z^2 [/mm] = -i
[mm] \Leftrightarrow (r\cdote^{i\phi})^2 [/mm] = [mm] e^{i\frac{3\pi}{2}} \cdot e^{i2\pi k}
[/mm]
Für den Betrag heißt das:
[mm] r^2 [/mm] = 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] r = [mm] \pm [/mm] 1
Und für den Winkel
[mm] 2\phi [/mm] = [mm] \frac{3\pi}{2} [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] k
[mm] \phi [/mm] = [mm] \frac{3\pi}{4} [/mm] + [mm] \pi [/mm] k
Da würden ja erstmal [mm] z_1 [/mm] = [mm] e^{i\frac{3\pi}{4}} [/mm] und [mm] z_2 [/mm] = [mm] e^{i\frac{7\pi}{4}} [/mm] plus die gleichen Zahlen nur mit umgekehrter Richtung - aber das sind ja dann jeweils die Zahlen selber, oder?
Wo sind die anderen 2 Lösungen geblieben?
Viele Grüße
acid
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Hallo,
> Berechnen Sie alle Lösungen z [mm]\in \IC[/mm] der Gleichung [mm]z^4[/mm] +
> [mm]2iz^2[/mm] - 1 = 0.
> Hallo,
>
> mich wundert, warum diese Gleichung nur 2 Lösungen hat,
> obwohl die höchste Potenz doch die 4 ist. Hat eine
> komplexe Funktion nicht immer so viele Nullstellen wie ihre
> Ordnung?
>
> Gerechnet habe ich:
> 0 = [mm](z^4[/mm] + [mm]2iz^2[/mm] - 1) = [mm](z^2[/mm] + [mm]i)^2[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow z^2[/mm] = -i
> [mm]\Leftrightarrow (r\cdote^{i\phi})^2[/mm] = [mm]e^{i\frac{3\pi}{2}} \cdot e^{i2\pi k}[/mm]
>
> Für den Betrag heißt das:
> [mm]r^2[/mm] = 1 [mm]\Leftrightarrow[/mm] r = [mm]\pm[/mm] 1
>
> Und für den Winkel
> [mm]2\phi[/mm] = [mm]\frac{3\pi}{2}[/mm] + [mm]2\pi[/mm] k
> [mm]\phi[/mm] = [mm]\frac{3\pi}{4}[/mm] + [mm]\pi[/mm] k
>
> Da würden ja erstmal [mm]z_1[/mm] = [mm]e^{i\frac{3\pi}{4}}[/mm] und [mm]z_2[/mm] =
> [mm]e^{i\frac{7\pi}{4}}[/mm] plus die gleichen Zahlen nur mit
> umgekehrter Richtung - aber das sind ja dann jeweils die
> Zahlen selber, oder?
>
> Wo sind die anderen 2 Lösungen geblieben?
Das ist ganz einfach: du hast die Vielfachheit der Lösungen nicht beachtet. Bei beiden Lösungen handelt es sich um Doppellösungen, und 2x2=4. 
Deine Rechnung ist ansonsten richtig.
Gruß, Diophant
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