Nullstellen modulo < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von [mm] x^2 [/mm] +x -22 in [mm] \IZ/101\IZ.
[/mm]
b) Ist [mm] x^2 [/mm] +11x +573 irreduzibel in [mm] \IZ/733\IZ? [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe zu a) eine Lösung, die ich an einer Stelle aber nicht nachvollziehen kann.
Und zwar:
[mm] x^2 [/mm] +x -22 = [mm] (y+1/2)^2 [/mm] + (y-1/2) -22 = [mm] y^2 [/mm] -1/4 -22 [mm] \equiv y^2 [/mm] -76-22 [mm] \equiv y^2 [/mm] +3 (101)
wie es dann weiter geht das weiß ich...
Aber jetzt zu meinem Problem: Wie komme ich denn bitte darauf, dass -1/4 [mm] \equiv [/mm] -76 (mod 101) ist?
zu b) Hier gibt es ja den Satz, dass ein Polynom genau dann irreduzibel ist wenn es keine Nullstelle mod n hat.
Also muss ich jetzt bei b) die gleiche Untersuchung wie bei a) durchführen oder?
also könnte ich ja wieder sowas ähnliches wie y-1/2 für x einsetzten. Ich kann soweit ich die Umrechung oben aber nicht verstanden hab noch keine Angabe machen.
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
Grüße
Lati
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Hallo Lati,
> a) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von [mm]x^2[/mm] +x -22
> in [mm]\IZ/101\IZ.[/mm]
>
> b) Ist [mm]x^2[/mm] +11x +573 irreduzibel in [mm]\IZ/733\IZ?[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe zu a) eine Lösung, die ich an einer Stelle aber
> nicht nachvollziehen kann.
>
> Und zwar:
>
> [mm]x^2[/mm] +x -22 = [mm](y+1/2)^2[/mm] + (y-1/2) -22 = [mm]y^2[/mm] -1/4 -22 [mm]\equiv y^2[/mm]
> -76-22 [mm]\equiv y^2[/mm] +3 (101)
Nun, im Bereich der ganzen Zahlen ist auch nur mit ganzen Zahlen zu rechnen.
Wenn Du hier mit [mm]x=y+b[/mm] ansetzt, und in die obige Gleichung einsetzt,
dann wirst Du sehen, daß mit [mm]\bruch{1}{2}[/mm] die Zahl b=50 gemeint ist.
>
> wie es dann weiter geht das weiß ich...
>
> Aber jetzt zu meinem Problem: Wie komme ich denn bitte
> darauf, dass -1/4 [mm]\equiv[/mm] -76 (mod 101) ist?
>
> zu b) Hier gibt es ja den Satz, dass ein Polynom genau
> dann irreduzibel ist wenn es keine Nullstelle mod n hat.
> Also muss ich jetzt bei b) die gleiche Untersuchung wie
> bei a) durchführen oder?
> also könnte ich ja wieder sowas ähnliches wie y-1/2 für
> x einsetzten. Ich kann soweit ich die Umrechung oben aber
> nicht verstanden hab noch keine Angabe machen.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!!!
>
> Grüße
>
> Lati
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Lati |
Hi mathepower,
danke erstmal für deine Antwort!
hab grad gesehen dass mir ein kleiner Fehler in meiner geposteten Lösung passiert ist und zwar:
> Hallo Lati,
>
> > a) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von [mm]x^2[/mm] +x -22
> > in [mm]\IZ/101\IZ.[/mm]
> >
> > b) Ist [mm]x^2[/mm] +11x +573 irreduzibel in [mm]\IZ/733\IZ?[/mm]
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich habe zu a) eine Lösung, die ich an einer Stelle aber
> > nicht nachvollziehen kann.
> >
> > Und zwar:
> >
> > [mm]x^2[/mm] +x -22 = [mm](y+1/2)^2[/mm] + (y-1/2) -22
hier: muss natürlich vorne auch [mm] (y-1/2)^2 [/mm] heißen....
=
[mm]y^2[/mm] -1/4 -22 [mm]\equiv y^2[/mm]
> > -76-22 [mm]\equiv y^2[/mm] +3 (101)
>
>
> Nun, im Bereich der ganzen Zahlen ist auch nur mit ganzen
> Zahlen zu rechnen.
Ja das war mir auch klar.
>
> Wenn Du hier mit [mm]x=y+b[/mm] ansetzt, und in die obige Gleichung
> einsetzt,
> dann wirst Du sehen, daß mit [mm]\bruch{1}{2}[/mm] die Zahl b=50
> gemeint ist.
>
In welche Gleichung soll ich einsetzen?
Ich steh grad irgendiwe aufm Schlauch. Könntest du das vllt vorführen?
Danke!!!
>
> >
> > wie es dann weiter geht das weiß ich...
> >
> > Aber jetzt zu meinem Problem: Wie komme ich denn bitte
> > darauf, dass -1/4 [mm]\equiv[/mm] -76 (mod 101) ist?
> >
> > zu b) Hier gibt es ja den Satz, dass ein Polynom genau
> > dann irreduzibel ist wenn es keine Nullstelle mod n hat.
> > Also muss ich jetzt bei b) die gleiche Untersuchung wie
> > bei a) durchführen oder?
> > also könnte ich ja wieder sowas ähnliches wie y-1/2
> für
> > x einsetzten. Ich kann soweit ich die Umrechung oben aber
> > nicht verstanden hab noch keine Angabe machen.
> >
> > Vielen Dank für eure Hilfe!!!
> >
> > Grüße
> >
> > Lati
>
>
> Gruß
> MathePower
Gruß Lati
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Hallo Lati,
> Hi mathepower,
>
> danke erstmal für deine Antwort!
>
> hab grad gesehen dass mir ein kleiner Fehler in meiner
> geposteten Lösung passiert ist und zwar:
>
> > Hallo Lati,
> >
> > > a) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von [mm]x^2[/mm] +x -22
> > > in [mm]\IZ/101\IZ.[/mm]
> > >
> > > b) Ist [mm]x^2[/mm] +11x +573 irreduzibel in [mm]\IZ/733\IZ?[/mm]
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > ich habe zu a) eine Lösung, die ich an einer Stelle aber
> > > nicht nachvollziehen kann.
> > >
> > > Und zwar:
> > >
> > > [mm]x^2[/mm] +x -22 = [mm](y+1/2)^2[/mm] + (y-1/2) -22
> hier: muss natürlich vorne auch [mm](y-1/2)^2[/mm] heißen....
> =
> [mm]y^2[/mm] -1/4 -22 [mm]\equiv y^2[/mm]
> > > -76-22 [mm]\equiv y^2[/mm] +3 (101)
> >
> >
> > Nun, im Bereich der ganzen Zahlen ist auch nur mit ganzen
> > Zahlen zu rechnen.
>
> Ja das war mir auch klar.
> >
> > Wenn Du hier mit [mm]x=y+b[/mm] ansetzt, und in die obige Gleichung
> > einsetzt,
> > dann wirst Du sehen, daß mit [mm]\bruch{1}{2}[/mm] die Zahl
> b=50
> > gemeint ist.
> >
> In welche Gleichung soll ich einsetzen?
> Ich steh grad irgendiwe aufm Schlauch. Könntest du das
> vllt vorführen?
In diese Gleichung:
[mm]x^{2}+x-22[/mm]
Dann hast Du
[mm]\left(y+b\right)^{2}+\left(y+b\right)-22[/mm]
Dies wird jetzt miz [mm]y^{2}+3[/mm] verglichen.
Daraus folgt dann [mm]2b+1 \equiv 0 \ \left(101\right)[/mm]
> Danke!!!
>
>
> >
> > >
> > > wie es dann weiter geht das weiß ich...
> > >
> > > Aber jetzt zu meinem Problem: Wie komme ich denn bitte
> > > darauf, dass -1/4 [mm]\equiv[/mm] -76 (mod 101) ist?
> > >
> > > zu b) Hier gibt es ja den Satz, dass ein Polynom genau
> > > dann irreduzibel ist wenn es keine Nullstelle mod n hat.
> > > Also muss ich jetzt bei b) die gleiche Untersuchung
> wie
> > > bei a) durchführen oder?
> > > also könnte ich ja wieder sowas ähnliches wie
> y-1/2
> > für
> > > x einsetzten. Ich kann soweit ich die Umrechung oben aber
> > > nicht verstanden hab noch keine Angabe machen.
> > >
> > > Vielen Dank für eure Hilfe!!!
> > >
> > > Grüße
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> > > Lati
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> >
> > Gruß
> > MathePower
>
>
> Gruß Lati
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Lati |
Hi Mathepower,
> Hallo Lati,
>
>
> > Hi mathepower,
> >
> > danke erstmal für deine Antwort!
> >
> > hab grad gesehen dass mir ein kleiner Fehler in meiner
> > geposteten Lösung passiert ist und zwar:
> >
> > > Hallo Lati,
> > >
> > > > a) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von [mm]x^2[/mm] +x -22
> > > > in [mm]\IZ/101\IZ.[/mm]
> > > >
> > > > b) Ist [mm]x^2[/mm] +11x +573 irreduzibel in [mm]\IZ/733\IZ?[/mm]
> > > > Hallo zusammen,
> > > >
> > > > ich habe zu a) eine Lösung, die ich an einer Stelle aber
> > > > nicht nachvollziehen kann.
> > > >
> > > > Und zwar:
> > > >
> > > > [mm]x^2[/mm] +x -22 = [mm](y+1/2)^2[/mm] + (y-1/2) -22
> > hier: muss natürlich vorne auch [mm](y-1/2)^2[/mm] heißen....
> > =
> > [mm]y^2[/mm] -1/4 -22 [mm]\equiv y^2[/mm]
> > > > -76-22 [mm]\equiv y^2[/mm] +3 (101)
> > >
> > >
> > > Nun, im Bereich der ganzen Zahlen ist auch nur mit ganzen
> > > Zahlen zu rechnen.
> >
> > Ja das war mir auch klar.
> > >
> > > Wenn Du hier mit [mm]x=y+b[/mm] ansetzt, und in die obige Gleichung
> > > einsetzt,
> > > dann wirst Du sehen, daß mit [mm]\bruch{1}{2}[/mm] die Zahl
> > b=50
> > > gemeint ist.
> > >
> > In welche Gleichung soll ich einsetzen?
> > Ich steh grad irgendiwe aufm Schlauch. Könntest du das
> > vllt vorführen?
>
>
> In diese Gleichung:
>
> [mm]x^{2}+x-22[/mm]
>
> Dann hast Du
>
> [mm]\left(y+b\right)^{2}+\left(y+b\right)-22[/mm]
Ok das ist soweit klar.
>
> Dies wird jetzt miz [mm]y^{2}+3[/mm] verglichen.
>
Aber warum vergleiche ich jetzt plötzlich mit [mm] y^2+3? [/mm] ich kann doch bei meinem Rechenweg nicht wissen was am Ende rauskommt.
> Daraus folgt dann [mm]2b+1 \equiv 0 \ \left(101\right)[/mm]
Das das hier folgt kann ich auch nicht richtig sehen...
Aber dass daraus dann b= 50 folgt ist klar. Und dann komm ich ja indem ich dann mit 1/2 multipliziere auf 25 und das ist mod 101 -76 oder wie meinst du das?
Ist mir trotzdem alles noch recht schleierhaft.
Ich mein da stehen ja ziemlich viele Rechenschritte dazwischen. Die kann man doch in einer Musterlsöung nicht einfach weglassen...
> > Danke!!!
> >
> >
> > >
> > > >
> > > > wie es dann weiter geht das weiß ich...
> > > >
> > > > Aber jetzt zu meinem Problem: Wie komme ich denn bitte
> > > > darauf, dass -1/4 [mm]\equiv[/mm] -76 (mod 101) ist?
> > > >
> > > > zu b) Hier gibt es ja den Satz, dass ein Polynom genau
> > > > dann irreduzibel ist wenn es keine Nullstelle mod n hat.
> > > > Also muss ich jetzt bei b) die gleiche
> Untersuchung
> > wie
> > > > bei a) durchführen oder?
> > > > also könnte ich ja wieder sowas ähnliches wie
> > y-1/2
> > > für
> > > > x einsetzten. Ich kann soweit ich die Umrechung oben aber
> > > > nicht verstanden hab noch keine Angabe machen.
> > > >
> > > > Vielen Dank für eure Hilfe!!!
> > > >
> > > > Grüße
> > > >
> > > > Lati
> > >
> > >
> > > Gruß
> > > MathePower
> >
> >
> > Gruß Lati
>
>
> Gruß
> MathePower
Danke nochmal für deine Ausdauer!
Gruß
Lati
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst ein reines Quadrat,
du hast [mm] y^2+2by+b^2+y+b=y^2+b^2+b+y*(2b+1)
[/mm]
also sollte 2b+1=0 2b=-1=100 b=50 jetzt noch [mm] b^2+b=-1/4=-76 [/mm] und du bist fertig. (du kannst auch [mm] 50^2+50 [/mm] rechnen und mod 101.
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Do 09.07.2009 | | Autor: | Lati |
Hi Mathepower,
also ich bin jetzt glaub ich etwas mehr dahinter gestiegen...Und zwar rechne ich dir meine Gedankengänge mal vor:
[mm] (y+b)^2 [/mm] +y+b -22 = [mm] y^2 [/mm] +2by [mm] +b^2 [/mm] +y+b -22 = [mm] y^2 +b^2 [/mm] +b +y(2b+1) -22
So jetzt will man das y raushauen und setzt deswegen 2b+1 [mm] \equiv
[/mm]
0 oder?
Dann kommt man auf jeden Fall auf b = 50
So diese b setze ich jetzt wieder oben ein:
Und kommes auf [mm] y^2 [/mm] + [mm] 50^2 [/mm] +50 -22 = [mm] y^2 [/mm] +2500+50 -22 [mm] \equiv y^2 [/mm] +3 (101). Ok also soweit bin ich jetzt.
Aber jetzt noch eine Frage an dich:
Ist es denn dann eigentlich egal welchen Punkt man vorne einsetzt? Hätte ich auch genauso (y-1/4) nehmen können?
Weil ich mein das b ist variabel.
Das versteh ich immer noch nicht so ganz.
Und sollte ich dann bei der nächsten Aufgabe diese Berechnung zuerst durchführen?
Wär echt sehr nett wenn du mir nochmal helfen könntest...
Danke
Grüße
Lati
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht, was du damit meinst "mein b ist variabel"
Du sagst doch selbst, b muss so bestimmt werden dass man "das y raushaut" kannst du das denn mit b=-1/4? oder irgend nem b ungleich -1/2 ?
Du kannst fuer b einsetzen was du willst , aber dann wird deine Gleichung ja nicht einfacher??
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Do 09.07.2009 | | Autor: | Lati |
Hi Leduart,
jetzt hab ichs auch endlich gecheckt. Das b hat sozusagen zwei Werte.Einmal den rationalen und dann den ganzzahligen mod 101.
Ok jetzt hab ichs dann denk ich...
Danke nochmal für eure Ausdauer...
Viele Grüße
Lati
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
War Quatsch
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