Nullstellen und Polstellen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Fr 06.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Nullstellen und Polstellen der Funktion:
f(x) = [mm] \bruch{x^3-8x^2+11x+20}{x^2-25}
[/mm]
Hinweis: Eine Nullstelle des Zählers ist x = -1 |
Hallo,
ich möchte einmal mein Vorgehen vorstellen:
Zuerst habe ich die Nullstellen des Zählers mit Hilfe der Polynomdivision und der P-Q-Formel bestimmt:
[mm] (x^3-8x^2+11x+20)(x+1)= x^2-9x+20
[/mm]
[mm] -\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q}
[/mm]
[mm] \bruch{9}{2}\pm\wurzel{(\bruch{9}{2})^2-20}
[/mm]
Dann habe ich [mm] x_{1} [/mm] = -1 , [mm] x_{2} [/mm] = 5 und [mm] x_{3} [/mm] = 4 herraus bekommen.
Für die Nullstelle des Nenners habe ich geschaut, welche Zahl man einsetzten muss, damit 0 herraus kommt ==> [mm] x_{4} [/mm] = 5
Ist das soweit Ok?
Bedeutet das, dass meine Polstelle hier nur die Zahl 5 ist?
Vielen Dank
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Hallo,
allgemeiner aufgeschrieben ist deine Funktion ja eine gebrochen rationale Funktion , die so aussieht:
f(x) = [mm] \bruch{p(x)}{q(x)}
[/mm]
Man spricht von einer Polstelle [mm] x_p, [/mm] wenn gilt:
[mm] q(x_p) [/mm] = 0 und [mm] p(x_p) \not= [/mm] 0
Wenn du 5 hast, ist der Zähler auch 0. 5 ist somit keine Polstelle, aber -5 ist eine Polstelle. Denn bei -5 wird dein Nenner 0, aber dein Zähler ist ungleich null. Somit ist -5 die Polstelle. (plotte die Funktion mal, dann siehst du, dass sich die Funktion an die vertikale Asymptote -5 anschmiegt)
5 ist eine hebbare Definitionslücke, man kann die FUnktion also an der Stelle 5 stetig fortsetzen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Fr 06.01.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie alle Nullstellen und Polstellen der
> Funktion:
>
> f(x) = [mm]\bruch{x^3-8x^2+11x+20}{x^2-25}[/mm]
>
> Hinweis: Eine Nullstelle des Zählers ist x = -1
> Hallo,
>
> ich möchte einmal mein Vorgehen vorstellen:
>
> Zuerst habe ich die Nullstellen des Zählers mit Hilfe der
> Polynomdivision und der P-Q-Formel bestimmt:
>
> [mm](x^3-8x^2+11x+20)(x+1)= x^2-9x+20[/mm]
>
> [mm]-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q}[/mm]
>
> [mm]\bruch{9}{2}\pm\wurzel{(\bruch{9}{2})^2-20}[/mm]
>
> Dann habe ich [mm]x_{1}[/mm] = -1 , [mm]x_{2}[/mm] = 5 und [mm]x_{3}[/mm] = 4 herraus
> bekommen.
Der Gedanke ist bis hierher ok.
(Ach ja: Herausbekommen hat nur ein "r")
>
> Für die Nullstelle des Nenners habe ich geschaut, welche
> Zahl man einsetzten muss, damit 0 herraus kommt ==> [mm]x_{4}[/mm] =
> 5
>
> Ist das soweit Ok?
Es gibt noch eine weitere Nullstelle des Nenners, bei -5, beachte die binomische Formel.
>
> Bedeutet das, dass meine Polstelle hier nur die Zahl 5
> ist?
Nein. Faktorisierst du den Zähler und Nenner, bekommst du
[mm] f(x)=\frac{x^3-8x^2+11x+20}{x^2-25}=\frac{(x+1)(x-4)(x-5)}{(x-5)(x+5)}
[/mm]
Nun erkennst du, dass der Linearfaktor x-5 sowohl im Zähler als auch im Nenner auftaucht, du kannst diesen dann "herauskürzen".
Die zugehörige Definitionslücke bei x=5 ist also hebbar. Dennoch ist dort immer noch eine Definitionslücke von f(x). Du kannst die Funktion aber stetig fortsetzen, wenn du in der "gekürzten Hilfsfunktion" [mm] h(x)=\frac{(x+1)(x-4)}{x+5} [/mm] einsetzt. Da [mm] h(5)=\frac{3}{5} [/mm] berechenbar ist, kannst du f(x) an der Stelle x=5 stetig fortsetzen mit [mm] f(5):=\frac{3}{5}
[/mm]
>
> Vielen Dank
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Fr 06.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
danke für die Antwort!
Verstehe ich dich dann richtig, dass meine Polstelle -5 ist, da meine Funktion mit +5 weiter wächst?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Fr 06.01.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> danke für die Antwort!
>
> Verstehe ich dich dann richtig, dass meine Polstelle -5
> ist,
Das stimmt.
> da meine Funktion mit +5 weiter wächst?
Ab hier wird es dann leider komplett falsch, und zwar leider sogar vom Grundverständnis her.
Das Verhalten bei x=+5 hat für die Polstelle x=-5 keine Relevanz - und ist schon gar keine Begründung für die Polstelle. Bei x=5 liegt hier eine hebbare Definitionslücke von f(x) vor. Wenn du auch noch f(5) als [mm] \frac{3}{5} [/mm] festlegst, ist f(x) dann an der (eigentlich nicht definierten Stelle) x=5 sogar stetig fortsetzbar.
>
> Viele Grüße
Marius
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