Nullstellen und Polynomendiv. < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Geben Sie alle Nullstellen von [mm] x^2 [/mm] +1 in [mm] \IZ_5 [/mm] [x] an.
b) Führen Sie in [mm] \IZ_5 [/mm] [x] die Polynomendivision P durch Q aus mit
P = [mm] x^4+2x^3 +2x^2+3x [/mm] +1, Q = [mm] 3x^3 [/mm] + 4x +2.
Hinweis: Die Verknüpfungstafeln von [mm] \IZ_5 [/mm] sind nützlich. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich tu mich schwer mit dieser Aufgabe. Insbesondere mit dem [mm] \IZ_5 [/mm] [x].
Damit kann ich nicht wirklich etwas anfangen.
Das [mm] \IZ [/mm] steht sicherlich für die ganzen Zahlen. Aber wie habe ich die tiefgestellte 5 zu deuten?
Wie muß ich denn bei a) vorgehen um alle Nullstellen zu berechnen?
Was muß ich bei der Polynomendivision bei b) beachten und was soll ich denn da mit Verknüpfungstafeln anfangen?
Ich bin dankbar für jede Hilfe ;)
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Hallo nureinnarr und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> a) Geben Sie alle Nullstellen von [mm] $x^2+1$ [/mm] in [mm] $\IZ_5[x]$ [/mm]
> an.
> b) Führen Sie in [mm] $\IZ_5[x]$ [/mm] die Polynomendivision $P$
> durch $Q$ aus mit
> [mm] $P=x^4+2x^3 +2x^2+3x+1, Q=3x^3+4x+2$.
[/mm]
>
> Hinweis: Die Verknüpfungstafeln von [mm] $\IZ_5$ [/mm] sind
> nützlich.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen!
>
> Ich tu mich schwer mit dieser Aufgabe. Insbesondere mit dem
> [mm] $\IZ_5[x]$.
[/mm]
> Damit kann ich nicht wirklich etwas anfangen.
> Das [mm] $\Z$ [/mm] steht sicherlich für die ganzen Zahlen. Aber wie
> habe ich die tiefgestellte 5 zu deuten?
Nun, [mm] $\IZ_5=\IZ/5\IZ$ [/mm] ist die Menge der Restklassen modulo 5, in einer Restklasse modulo 5, sagen wir [mm] $[a]_5$ [/mm] oder [mm] $\overline{a}_5$ [/mm] (je nach Notation), sind alle ganzen Zahlen, die bei Division durch 5 denselben Rest lassen wie a
zB. ist die Restklasse [mm] $[1]_5=\overline{1}_5$ [/mm] die Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 5 denselben Rest lassen wie 1, also Rest 1 lassen, dh. [mm] $[1]_5=\{...,-9,-4,1,6,11,...\}$
[/mm]
Beachte: [mm] $[1]_5=[6]_5=[-14]_5=...$
[/mm]
Wählen wir für jeden möglichen Rest bei Division durch 5 je einen Vertreter und bilden die zugehörige Restklasse, so erhalten wir:
[mm] $\IZ_5=\IZ/5\IZ=\{[0]_5,[1]_5,[2]_5,[3]_5,[4]_5\}$
[/mm]
> Wie muß ich denn bei a) vorgehen um alle Nullstellen zu
> berechnen?
Durch Einsetzen aller 5 möglichen Restklassen
> Was muß ich bei der Polynomendivision bei b) beachten
Dass, wenn du zB. bei einem Schritt [mm] $-2x^2$ [/mm] erhältst, dies dasselbe ist wie [mm] $+3x^2$ [/mm] (modulo 5)
> und was soll ich denn da mit Verknüpfungstafeln anfangen?
Stelle die Tafel mal auf, dann kannst du das selber beantworten ...
Sie zeigt dir etwa im allersten Schritt der PD:
[mm] $(x^4+2x^3+2x^2+3x+1):(3x^3+4x+2)$
[/mm]
[mm] $=(\red{1}x^4+2x^3+2x^2+3x+1):(\red{3}x^3+4x+2)$, [/mm] mit welcher Zahl du [mm] $\red{3}$ [/mm] multiplizieren musst, um auf [mm] $\red{1}$ [/mm] zu kommen (modulo 5)
Nun geh's einfach mal an, probiere, wie weit du kommst und stelle deine Ansätze vor, dann sehen wir weiter, ok?
>
> Ich bin dankbar für jede Hilfe ;)
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
hab vielen Dank für Deine ausführliche Erläuterung.
a) lass ich erstmal außen vor. Da weiß ich noch nicht so recht wie ich das Berechnen soll.
Bei b) hab ich jetzt erst mal meine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation aufgestellt und bin erstmal so weit gekommen:
[mm] (x^4+2x^3+2x^2+3x+1):(3x^3+4x+2)=2x[/mm]
[mm]-(x^4+3x^2+4x)[/mm]
[mm]...[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
* & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 0 & 2 & 4 & 1 & 3 \\
3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 2 \\
4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt kommt ja die Subtraktion dran.
Brauch ich da eine neue Verknüpfungstabelle? Bestimmt oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Sa 27.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo nureinnarr
eigentlich brauchst du noch ne Additionstabelle, aber die kann man leicht im Kopf, etwa 2+3=0 oder 1+4=0 usw.
die Multiplikationstabelle dagegen ist wichtig, denn statt durch 3 zu teilen solltest du mit dem Inversen von 3 (hier 2) multiplizieren. (bei rationalen Zahlen kannst du ja auch statt durch 3 teilen mit dem Inversen von 3 also 1/3 mult)
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Sa 27.06.2009 | | Autor: | ron |
Hallo,
möchte dir für Teil a) einen Hinweis geben, der zum Verständnis der Bedeutungen der Restklassen hilfreich sein kann.
Versuche zunächst einfach die Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] zu berechnen.
Jetzt lese den Hinweis zu den Klassen von schachuzipus und denke daran, dass auch Vielfaches einer Nullstelle in den Restklassen von Bedeutung sind (Ist ein Elemet der Klasse Nullstelle, so die ganze Klasse):
1 = 6 = 16 = 151 = ... [mm] \in \IZ_{5} [/mm] !!
Die Verknüpfungstafel ist von dir im ersten Schritt richtig angewendet! Denke du hast das Grundprinzip der Rechenvorgänge in Restklassenringen verstanden. Jetzt kommt es auf die Übung an..
Gruss
Ron
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Hallo Ron,
danke für den Hinweis. Damit probiere ich mich gleich
;)
Allerding komme ich bei der Polynomendivision nicht weiter.
Im nächsten Schritt muß ich ja nun die [mm] x^4+3x^2+4x [/mm] abziehen.
Muß ich das jetzt auch anhand einer Verknüpfungstafel machen oder kann ich das wie gewohnt durchführen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Sa 27.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das kannst du wie gewohnt machen, ich find es allerdings besser nur mit pos. Zahlen zu rechnen, also statt [mm] -2x^2 [/mm] besser [mm] 3x^2
[/mm]
denn -2=3 mod 5 weil 2+3=5=0
meist kommt man mit negativen Zahlen irgendwann durcheinander.
aber natuerlich kann man mit -1 statt 4 rechnen usw.
Wag dich einfach mal dran, wenn du unsicher bist, post deine Rechnung.
Gruss leduart.
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Hallo leduart,
also geht es so weiter?
[mm] ( x^4+2x^3+2x^2+3x+1):(3x^3+4x+2)=2x[/mm]
[mm]-(x^4+3x^2+4x)[/mm]
____________
[mm] (-1x-2x+3x)[/mm]
oder auch
[mm] (4x+3x+3x)[/mm]
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Sa 27.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gilt doch nirgends, dass da immer x rauskommt
[mm] 2x^3-0*x^3=2x^3 [/mm] ; [mm] 2x^2-3x^2=4x^2 [/mm] 3x-4x=4x [mm] 1-0*x^0=1
[/mm]
wie bei "normaler" polynomdivision.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Sa 27.06.2009 | | Autor: | nureinnarr |
Ich Idiot ;)
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Muß das Ergebnis denn auch Ganzzahlig sein?
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Hallo nochmal,
> Muß das Ergebnis denn auch Ganzzahlig sein?
Wenn die PD aufgeht, dann ja, sie tut es aber nach meiner (oberflächlichen) Rechnung nicht ...
Was bekommst du denn heraus?
Für Details poste deine Rechnung 
Bis dann
schachuzipus
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Hallo...
ich eben festegestellt, dass ich das Falsche abgeschrieben habe.
Richtig lautet es so:
[mm] (x^4+2x^3+2x^2+3x+1):(3x^2+4x+2)[/mm]
Anbei als Bild mal meine Gleichung, da ich mit Latex das auf die Schnelle nicht so formatiert bekomme wie ich das will.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo nochmal,
> Hallo...
>
> ich eben festegestellt, dass ich das Falsche abgeschrieben
> habe.
> Richtig lautet es so:
>
> [mm](x^4+2x^3+2x^2+3x+1):(3x^2+4x+2)[/mm]
>
> Anbei als Bild mal meine Gleichung, da ich mit Latex das
> auf die Schnelle nicht so formatiert bekomme wie ich das
> will.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das sieht gut aus, zumindest habe ich dieselbe Rechnung
Gruß
schachuzipus
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Das ist doch mal was ;)
Zu a)
Wenn [mm] x^2+1 [/mm] schon keine Nullstellen hat, dann kann die Funktion doch auch keine haben, wenn der Zahlenbereich noch weiter eingeschränkt wird?!
Somit würde ich mal meinen, dass sie keine hat.
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Hallo nureinnarr,
> Das ist doch mal was ;)
>
> Zu a)
>
> Wenn [mm]x^2+1[/mm] schon keine Nullstellen hat, dann kann die
> Funktion doch auch keine haben, wenn der Zahlenbereich noch
> weiter eingeschränkt wird?!
> Somit würde ich mal meinen, dass sie keine hat.
Die Funktion hat aber Nullstellen in [mm]\IZ_{5}\left[x\right][/mm].
Gruss
MathePower
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