Nullstellenberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Di 03.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
| Aufgabe | Berechnung Schnittpunkte von f und h
f(x) = [mm] 2/5*x^2 [/mm] + cos(2x)
h(x) = [mm] 2/5*x^2 [/mm] |
Hallo
Ich bin gerade dabei alte Abi Aufgaben zu rechnen und dabei über ne aufgabe zum integrieren gestoßen. Das integrieren ist aich kein problem wenn da nich diese schönen Schnittpunkte wären. Habe die aufgabe schon durchgerechnet ( die Schnittpunkte eben mim GTR berechnet).
Hab mir die Lösung dazu angesehn und festgestellt, dass die schnittpunkte auch von hand ausgerechnet werden sollen. Leider komm ich mit dem lösungsweg nich klar. Die cosinus fkt ist für mich wie von nem anderen stern. Wäre nett wenn mir jemand das vorgehn erklären könnte :)
Hier die lösung im Abi Buch:
f(x) = h(x)
[mm] 2/5*x^2 [/mm] + cos (2x) = [mm] 2/5*x^2
[/mm]
cos(2x) = 0 < soweit so gut aber jetzt
Setze u = 2x
cos u =0
u1,2 = + - [mm] \pi/2 [/mm] x1,2 = + - [mm] \pi/4
[/mm]
u3,4 = + - [mm] 3\pi/2 [/mm] x3,4 = + - [mm] 3\pi/4
[/mm]
Sieht mir ja ganz nach Substitution aus. Aber Substitution mit cosinusfkt hab ich noch nie gesehn. Ich versteh den rechenweg ab cos (x) = 0 auch nicht mehr. Kann mir vll jemand erklären was genau und warum die das machen :).
LG Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Di 03.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Susi
> Berechnung Schnittpunkte von f und h
>
> f(x) = [mm]2/5*x^2[/mm] + cos(2x)
> h(x) = [mm]2/5*x^2[/mm]
> Hallo
> Ich bin gerade dabei alte Abi Aufgaben zu rechnen und dabei
> über ne aufgabe zum integrieren gestoßen. Das integrieren
> ist aich kein problem wenn da nich diese schönen
> Schnittpunkte wären. Habe die aufgabe schon durchgerechnet
> ( die Schnittpunkte eben mim GTR berechnet).
> Hab mir die Lösung dazu angesehn und festgestellt, dass
> die schnittpunkte auch von hand ausgerechnet werden sollen.
> Leider komm ich mit dem lösungsweg nich klar. Die cosinus
> fkt ist für mich wie von nem anderen stern. Wäre nett wenn
> mir jemand das vorgehn erklären könnte :)
>
> Hier die lösung im Abi Buch:
>
> f(x) = h(x)
> [mm]2/5*x^2[/mm] + cos (2x) = [mm]2/5*x^2[/mm]
> cos(2x) = 0 < soweit so gut aber
> jetzt
> Setze u = 2x
>
> cos u =0
> u1,2 = + - [mm]\pi/2[/mm] x1,2 = + - [mm]\pi/4[/mm]
>
> u3,4 = + - [mm]3\pi/2[/mm] x3,4 = + - [mm]3\pi/4[/mm]
>
> Sieht mir ja ganz nach Substitution aus. Aber Substitution
> mit cosinusfkt hab ich noch nie gesehn. Ich versteh den
> rechenweg ab cos (x) = 0 auch nicht mehr. Kann mir vll
> jemand erklären was genau und warum die das machen :).
>
> LG Susi
Der Cosinus ist ja eine periodische Funktion (genau wie der Sinus) mit der Periodenlänge [mm] 2\pi
[/mm]
die erste Nullstellen des Cosinus liegt ja bei
[mm] 90°(Gradmass)\hat=\bruch{\pi}{2}(Bogenmass), [/mm] die zweite bei [mm] \bruch{3}{2}\pi(Bogenmass)
[/mm]
Und weitere Nullstelen folgen im jeweiligen Abstand von [mm] 2\pi.
[/mm]
Also: cos(x)=0
[mm] \Rightarrow x=k*\pi+\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] (sin(x)=0\Rightarrow x=k*\pi) [/mm] mit jeweils ganzzahligem k.
Und hier gilt cos(u)=0
[mm] \Rightarrow u_{1}=\bruch{\pi}{2},u_{2}=\bruch{3\pi}{2}, u_{3}=-\bruch{\pi}{2} [/mm] und [mm] u_{4}=-\bruch{3\pi}{2}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2x_{1}=\bruch{\pi}{2},2x_{2}=\bruch{3\pi}{2}, 2x_{3}=-\bruch{\pi}{2} [/mm] und [mm] 2x_{4}=-\bruch{3\pi}{2},
[/mm]
Jetzt klarer?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Di 03.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
:) Danke für deine Antwort. Nachdem ich erstmal große augen bekommen und gar nichts mehr verstanden habe kommt jetzt langsam die erkenntnis ( hoffe ich zumindest mal).
Hab das jetzt so verstanden :
Wenn man cos(x) = 0 hat, dann bekommt man das cos() von der einen seite weg ( und damit x alleine ), wenn man es so schreibt x =k * [mm] \pi [/mm] + [mm] \pi/2 [/mm] . Ok die formulierung is nicht die beste > ich hoffe man verstehts. Das k in deiner "formel" ist in dem fall fall 0 weswegen [mm] \pi [/mm] wegfällt und nur noch [mm] \pi/2 [/mm] stehn bleibt. Und das ja nich nur cos ( x) ist sonder cos(2x) muss man das ergebnis noch durch 2 teilen. Kann man das so gelten lassen??
LG Susi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Di 03.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
ich habs mich gerade auch gefragt. Irgendwie blick ich grad gar nichts mehr. Mal ne andere aufgabe
sin (2,5*x) = -0,4
woe wärs denn hier mit nullstellenberechnung?
würd das ja nu erstmal so machen :
sin(x) = -0,4
x = [mm] k*\pi
[/mm]
2,5x = u
sin u = -0,4
äh ja und nu is ende :). Ich weiß einfach nicht ( auch bei der aufgabe am anfang nicht) welche zahl ich für k einsetzen muss. Klärt mich bitte auf :).
Da steh ich nun, ich armer Tor
und bin so klug als wie zuvor....
LG Susi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 03.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> ich habs mich gerade auch gefragt. Irgendwie blick ich grad
> gar nichts mehr. Mal ne andere aufgabe
>
> sin (2,5*x) = -0,4
>
>
> woe wärs denn hier mit nullstellenberechnung?
>
> würd das ja nu erstmal so machen :
>
> sin(x) = -0,4
> x = [mm]k*\pi[/mm]
> 2,5x = u
> sin u = -0,4
>
>
> äh ja und nu is ende :). Ich weiß einfach nicht ( auch bei
> der aufgabe am anfang nicht) welche zahl ich für k
> einsetzen muss. Klärt mich bitte auf :).
> Da steh ich nun, ich armer Tor
> und bin so klug als wie zuvor....
>
> LG Susi
Hallo,
vielleicht hilft es dir einen Zwischenschritt zu merken.
z.B. cos(2x) = 0
2x= [mm] \pm [/mm] arccos (0) + [mm] 2\pi [/mm] k k [mm] \in \IZ
[/mm]
2x = [mm] \pm\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] k
x = [mm] \bruch{1}{2}(\pm\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] k)
x = [mm] \pm\bruch{\pi}{4} [/mm] + [mm] \pi [/mm] k
analog:
sin(2,5x) = -0,4
ich verwende hier die allgemeine Lösung für sinx = a
x = [mm] (-1)^{k}arcsin(a) [/mm] + [mm] \pi [/mm] k
2,5x = [mm] (-1)^{k}arcsin(-0,4) [/mm] + [mm] \pi [/mm] k
x = [mm] \bruch{2}{5}*((-1)^{k}arcsin(-0,4) [/mm] + [mm] \pi [/mm] k ) k [mm] \in \IZ
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 03.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Danke für die mühe aber jetzt ist die verwirrung perfekt. Oh mein gott. Was soll dieses arccos sein und warum ist das [mm] \pi/2? [/mm] Und die rechnung unten kommt mir ganz spanisch vor :(. Gibts da nich was einfacheres?
lg sUSI
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Di 03.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Susi
die arccos und arcsin Funktionen sind die Umkehrfkt zu sin und cos.
auf einem TR sind sie oft als [mm] cos^{-1} [/mm] bzw [mm] sin^{-1} [/mm] oder als INV sin oder als acos oder asin.
Wie rechnest du x aus fuer sinx=0.2? da benutzt du den arcsin!
Es ist das entsprechende wie Wurzel zu Quadrat!
Denk einfach so:
Wenn du weisst, dass fuer sinx=0.2 x=0,201 oder x=11,5˚
und du hast sin(irgendwas)=0,2 dann muss irgendwas 0,201 bzw. 11,5˚ sein. egal was "irgendwas" ist. wenn irgendwas also 2,5x ist muss 2,5x=0,201 sein usw.
Ein bissel klarer?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 03.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Klingt logisch. Aber ...
Wenn du weisst, dass fuer sinx=0.2 x=0,201 oder x=11,5˚
x = 0,2 bekomm ich so auch raus > aber was ist mit der 2ten lösung. Und wofür brauch ich dann das X = [mm] \pi [/mm] *k
oder bei cos (x) = 0 > das x= [mm] k*\pi [/mm] + [mm] \pi/2 [/mm] ??
und was muss man für k einsetzen?
LG Susi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Di 03.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
Tja, ich dachte mit arccos wird es klarer. Dann sieht man sofort alle einfachen Umformungen wie man von 2x auf das Ergebnis für x kommt. Es ist genauso wie z.B. bei der Gleichung
2x = 6
x = 1/2 *6
x = 3
Ohne arc-Funktionen kommst du bei trigonometrischen Gleichungen nicht vorbei.
Wie leduart sehr schön erläutet hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Di 03.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Im nachhinein ist es das auch :). Nur weiß ich leider nicht was ich für k einsetzen muss bei keiner der rechnungen. Kann mir das vll nnoch mal jemand erklären?
lg sUSI
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 03.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo susi
Du weisst doch, dass sich die sin und cos fkt immer nach [mm] 2\pi [/mm] bzw 360˚ wiederholen.
Wenn du also bei x=0,201 ne Stelle hast, bei der sinx=0,2 hast, dann auch [mm] 2\pi [/mm] davor und danach und dann [mm] 4\pi [/mm] danach und [mm] 6\pi [/mm] danach usw.
und [mm] 107*2\pi [/mm] danach.....
statt nun die alle hinzuschreiben, sagt man [mm] x=0,201+k*2\pi
[/mm]
und man darf fuer k JEDE ganze Zahl, positiv oder neg. einsetzen. du kannst also dazu schreiben [mm] k=\pm [/mm] 1, [mm] \pm2,....
[/mm]
Jetzt klar
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 03.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Aber dann kommen da doch theoretisch unendlich viele zahlen raus oder? Bei der ersten aufgabe > die auf cos (x) = 0 rauslief gabs aber doch nur 4 lösungen.
Warum. Ich verstehs einfach nicht. Da muss doch fürs k was eingesetzt worden sein > aber was .
LG Susi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 03.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
auch bei deinere ersten Lösung gibt es unendlich viele Schnittpunkte.
Lass' dir doch einfach mal von einem Plottprogramm die Graphen zeichnen, und du wirst sehen, dass die sich immer periodisch schneiden.
Das mist dem k geht so:
Es stand dort ja schon dahinter, dass k [mm] \in \IZ [/mm] .
Da du ja weist, dass die Trigonometrischen Funktionen periodisch sind, und sich alle [mm] 2\pi [/mm] wiederholen (bis auf die Null, die wiederholt sich ja alle [mm] \pi.
[/mm]
Und da deine Schnittpunkte dann ja auch peridoisch sind, und sich alle [mm] 2\pi [/mm] wiederholen, schreibt man einfach
[mm] k*2\pi
[/mm]
Somit setzt du dann für k irgendeine ganze Zahl ein, wie z.B. 1 oder -1 oder 2 oder 3 etc...und dann erhälst du die Nullstellen.
D.h. da du ja weist, dass es unendlich viele Lösungen gibt, kannst du ja nich alle Lösungen niederschrieben.
Deshalb schreibt man das dann mit dem k.
Viele Grüße,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 03.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Aber bei der cos(x) = 0 aufgabe brauch ich ja konkrete schnittpunkte > um dann damit integrieren zu können > ein k würde sich da gar nicht gut machen. Ein k kommt in der lösung ja auch nicht vor.da gibts konkrete schnittpunkte. Also wann k und wann nicht usw ? Ich werds einfach lasssen > verstehs einfach nicht. Werd mich damit morgen oder so nochmal befassen . Danke für die hilfe
LG Susi
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Hallo SusaSch,
du bist doch eigentlich an der Lösung dran:
cos(2x)=0
[mm] x=(2k+1)\bruch{\pi}{4}, [/mm] es gilt [mm] k\in\IZ
[/mm]
was heißt das, es gibt unendlich viele Schnittpunkte
k=0 ergibt [mm] \bruch{1\pi}{4}
[/mm]
k=1 ergibt [mm] \bruch{3\pi}{4}
[/mm]
k=2 ergibt [mm] \bruch{5\pi}{4}
[/mm]
k=3 ergibt [mm] \bruch{7\pi}{4}
[/mm]
u.s.w.
ebenso für k negativ
ich hänge dir ein Bild an, da siehst du schön die Schnittpunkte an den Stellen [mm] x=(2k+1)\bruch{\pi}{4}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du jetzt z. B. die Fläche berechnen möchtest, die beide Funktionen und die y-Achse einschließen, machst du [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{\bruch{2}{5}x^{2}+cos(2x)-\bruch{2}{5}x^{2} dx}
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Warum das mit $k \ = \ 0$ ? Damit hast Du ja dann nur eine der unendlich vielen Schnittstellen.
