Nullstellenberechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mi 05.10.2011 | | Autor: | luna19 |
| Aufgabe | 1)Löse die Gleichung,mache die Probe.
[mm] a)x^{3}+2x=0
[/mm]
2)Löse die Gleichung mithilfe einer Substitution
[mm] a)(x-\bruch{2}{3})(x^{4}-\bruch{13}{6}x^{2}+1)=0
[/mm]
[mm] b)x^{5}-20x^{3}+64x=0 [/mm] |
Hallo :)
Ich weiß nicht ob die Aufgaben richtig bearbeitet worden sind,es wäre nett ,wenn jemand kurz drüber gucken kann und mir auch die Fragen beantworten kann.
[mm] 1)x(x^{2}+2)
[/mm]
Die Aufgabe ist nicht lösbar,weil man keine negative Zahl einsetzen kann.
2)
a)Die erste Nullstelle kann man ablesen,das ist dann [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Dann würde ich die Substitution anwenden also,
[mm] z^{2}-\bruch{13}{6}*z+1
[/mm]
p-q-Formel
[mm] p=-\bruch{13}{6}
[/mm]
q=1
Dann kommen dann
x1=3
x2= [mm] \bruch{5}{3} [/mm]
Die Wurzel muss gezogen werden
1.Nullstelle : [mm] \bruch{-2}{3} [/mm]
[mm] 2.Nullstelle:\wurzel{3}
[/mm]
[mm] 3.Nullstelle:\wurzel\bruch{15}{3}
[/mm]
Warum muss man die normale Wurzel ziehen und nicht die 4.Wurzel ?
(es steht ja eigentlich [mm] x^{4} [/mm] in der Gleichung)
[mm] b)x*(x^{4}-20*x^{3}+64)=0
[/mm]
Substitution angewandt:
[mm] x(z^{2}-20*z+64)=0
[/mm]
p-q Formel mit
p=-20
q=64
x1=16
x2=4
Die Wurzel muss gezogen werden
also:
1.Nullstelle: 0
2.Nullstelle:4
3Nullstelle:2
3.Frage: Ist bei einer Gleichung nicht immer die O eine Nullstelle?
Vielen Dank schon mal im Voraus
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Hallo
> 1)Löse die Gleichung,mache die Probe.
> [mm]a)x^{3}+2x=0[/mm]
>
> 2)Löse die Gleichung mithilfe einer Substitution
> [mm]a)(x-\bruch{2}{3})(x^{4}-\bruch{13}{6}x^{2}+1)=0[/mm]
>
> [mm]b)x^{5}-20x^{3}+64x=0[/mm]
> Hallo :)
>
> Ich weiß nicht ob die Aufgaben richtig bearbeitet worden
> sind,es wäre nett ,wenn jemand kurz drüber gucken kann
> und mir auch die Fragen beantworten kann.
>
>
> [mm]1)x(x^{2}+2)[/mm]
>
> Die Aufgabe ist nicht lösbar,weil man keine negative Zahl
> einsetzen kann.
>
Nein. Eine Lösung ist zum Beispiel x=0. Ein Produkt ist Null, wenn einer der beiden Faktoren Null wird, also x=0 oder [mm] x^2+2=0. [/mm] Gibt es weitere Lösungen als x=0?
> 2)
> a)Die erste Nullstelle kann man ablesen,das ist dann
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Dann würde ich die Substitution anwenden also,
>
> [mm]z^{2}-\bruch{13}{6}*z+1[/mm]
> p-q-Formel
> [mm]p=-\bruch{13}{6}[/mm]
>
> q=1
>
Bis hierhin ist alles richtig
> Dann kommen dann
>
> x1=3
>
> x2= [mm]\bruch{5}{3}[/mm]
>
Leider sind beide Nullstellen falsch. Du kannst ja immer die Probe machen und die Zahl einsetzen, dann muss die Gleichung Null sein.
Poste mal deinen genauen Rechnungsweg oder überprüf nochmal deine Rechnung
> Die Wurzel muss gezogen werden
>
> 1.Nullstelle : [mm]\bruch{-2}{3}[/mm]
>
> [mm]2.Nullstelle:\wurzel{3}[/mm]
>
> [mm]3.Nullstelle:\wurzel\bruch{15}{3}[/mm]
>
>
>
>
> Warum muss man die normale Wurzel ziehen und nicht die
> 4.Wurzel ?
>
> (es steht ja eigentlich [mm]x^{4}[/mm] in der Gleichung)
>
Es steht [mm] x^4 [/mm] in der Gleichung, aber substituierst ja [mm] x^4=z^2 [/mm] und [mm] x^2=z. [/mm] Wenn du die Lösungen für z hast, dann musst du rücksubstituieren, also [mm] (Lösung)=x^2 [/mm] und da muss man eben nur die Quadratwurzel ziehen.
>
> [mm]b)x*(x^{4}-20*x^{2}+64)=0[/mm]
>
> Substitution angewandt:
>
> [mm]x(z^{2}-20*z+64)=0[/mm]
>
>
> p-q Formel mit
>
> p=-20
>
> q=64
>
> x1=16
>
> x2=4
>
> Die Wurzel muss gezogen werden
>
> also:
>
> 1.Nullstelle: 0
>
> 2.Nullstelle:4
>
> 3Nullstelle:2
>
Hier ist alles richtig!
> 3.Frage: Ist bei einer Gleichung nicht immer die O eine
> Nullstelle?
>
Nein, ein Beispiel ist [mm] x^2-2=0. [/mm] Wie du siehst, hat diese Gleichung keine Nullstelle bei x=0
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mi 05.10.2011 | | Autor: | luna19 |
hi,
Danke für die rückmeldung
Gibt es noch anderre Nullstellen
Nein ,gibt es nicht ,weil man keine negative Zahl einsetzen kann
b)Poste mal deinen Rechenweg
[mm] \bruch{13}{6}*\bruch{1}{2} [/mm]
+- [mm] \wurzel(\bruch{13}{6}*\bruch{1}{2})^{2})-5
[/mm]
[mm] \bruch{7}{3}+\bruch{2}{3}=3
[/mm]
[mm] \bruch{7}{3}-\bruch{2}{3}=\bruch{5}{3}
[/mm]
dann muss man nur noch die Wurzel ziehen....
Vielen dank
Luna
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Hallo Luna,
> Gibt es noch andere Nullstellen
> Nein ,gibt es nicht ,weil man keine negative Zahl
> einsetzen kann
Hm, die Begründung ist nicht gut. Es gibt keine weiteren Nullstellen, weil die zweite Klammer nicht Null werden kann (und das, weil [mm] x^2 [/mm] nie negativ wird).
> b)Poste mal deinen Rechenweg
>
> [mm]\bruch{13}{6}*\bruch{1}{2}[/mm] +- [mm]\wurzel(\bruch{13}{6}*\bruch{1}{2})^{2})-5[/mm]
Hier stimmen die Klammern nicht. Und woher kommt die 5? Richtig wäre
[mm] z_{1/2}=\bruch{13}{6}*\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{13}{6}*\bruch{1}{2}\right)^2-\blue{1}}
[/mm]
> [mm]\bruch{7}{3}+\bruch{2}{3}=3[/mm]
Wie Du vom letzten Schritt hierhin kommst, ist mir völlig schleierhaft. Einfach neue Zahlen?
>
> [mm]\bruch{7}{3}-\bruch{2}{3}=\bruch{5}{3}[/mm]
>
>
> dann muss man nur noch die Wurzel ziehen....
Na, erstmal das richtige Ergebnis für z finden...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 06.10.2011 | | Autor: | luna19 |
ich frage mich auch wie ich auf die 5 komme......
ich habe das noch mal berechnet und da kommt Folgendes heraus:
[mm] z^{2}=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] z=\bruch{3}{2}
[/mm]
Wurzel gezogen:
[mm] 1.Nullstelle:\bruch{\wurzel{6}}{3}
[/mm]
[mm] 2.Nullstelle:\bruch{\wurzel{6}}{2}
[/mm]
danke
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Hallo Luna,
ich habs Dir doch schon fast fertig vorgerechnet.
> ich frage mich auch wie ich auf die 5 komme......
>
> ich habe das noch mal berechnet und da kommt Folgendes
> heraus:
>
> [mm]z^{2}=\bruch{2}{3}[/mm]
Äh, was?
> [mm]z=\bruch{3}{2}[/mm]
Das ist eine der beiden Lösungen, aus [mm] z_i=\bruch{13}{12}+\bruch{5}{12}=\bruch{18}{12}=\bruch{3}{2}
[/mm]
Die andere Lösung für z fehlt aber noch!
> Wurzel gezogen:
>
> [mm]1.Nullstelle:\bruch{\wurzel{6}}{3}[/mm]
>
> [mm]2.Nullstelle:\bruch{\wurzel{6}}{2}[/mm]
Wie ziehst Du denn Wurzeln? Die 2. Nullstelle ist immerhin eine, also richtig, aber die 1. Nullstelle stimmt nicht. Wie verhalten sich denn die beiden Wurzeln einer positiven Zahl zueinander?
> danke
Es gibt insgesamt vier Nullstellen. Bisher hast Du eine davon richtig.
Schau Dir doch erst nochmal die p-q-Lösung(en!) für z an, und zieh dann erst die Wurzel.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Do 06.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die 2 Lösungen für z richtig, bei der ersten hast du aus Versehen [mm] z^2=\bruch{2}{3} [/mm] statt [mm] z=\bruch{2}{3}
[/mm]
damit sind die 2 Ergebnisse für x richtig, aber du hast vergessen, dass beim Wurzelziehen immer + und - als Vorzeichen Lösungen sind.Damit bekommst du noch 2 weitere Lösungen für x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 06.10.2011 | | Autor: | luna19 |
Das heißt
[mm] 1.Nullstelle:\bruch{\wurzel{6}}{3} [/mm]
[mm] 2.Nullstelle:-\bruch{\wurzel{6}}{3} [/mm]
[mm] 3.Nullstelle:\bruch{\wurzel{6}}{2} [/mm]
[mm] 4.Nullstelle:-\bruch{\wurzel{6}}{2} [/mm]
warum gibt es denn 4 Nullstellen und wie kann ich das denn ablesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Do 06.10.2011 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du die Terme ausmultilpizierst erhältst Du Ausdrücke, die sich in der Form $a [mm] \cdot x^4 [/mm] + b [mm] \cdot x^3 [/mm] + c [mm] \cdot x^2 [/mm] + d [mm] \cdot [/mm] x + e$ schreiben lassen. a bis e sind dabei die Zahlen, die da als Vorfaktoren stehen. Nun schaust Du auf die höchste Potenz, in diesem Fall ist das die 4 in [mm] $x^4$. [/mm] Die sagt Dir, dass es bis zu 4 Nullstellen geben kann. Es kann aber durchaus vorkommen, dass es gar keine gibt.
Du kennst die quadratische Gleichung. Da ist die höchste Potenz 2. Es kann bis zu zwei Nullstellen geben. Manchmal ist es nur eine, manchmal gibt es keine.
Wie viele Nullstellen tatsächlich da sind, musst Du herausfinden. Sobald es die Potenz höher als zwei ist, solltest Du nur Gleichungen bekommen, bei denen
- eine Nullstelle sofort erkennbar ist, x=0 typischerweise, oder
- eine Substitution möglich ist, so dass eine quadratische Gleichung entsteht.
Für die Gleichungen mit höchster Potenz 3 und 4 gibt es ähnliche Lösungsverfahren wie bei der quadratischen Gleichung. Die sind jedoch so mühsam, dass man sie normalerweise nicht benutzt. Ich habe es aus Neugierde genau einmal gemacht. Für höhere Potenzen gibt es noch nicht einmal so ein allgemeines Verfahren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Do 06.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo chrisno,
> Für die Gleichungen mit höchster Potenz 3 und 4 gibt es
> ähnliche Lösungsverfahren wie bei der quadratischen
> Gleichung. Die sind jedoch so mühsam, dass man sie
> normalerweise nicht benutzt. Ich habe es aus Neugierde
> genau einmal gemacht. Für höhere Potenzen gibt es noch
> [i]nicht einmal so ein allgemeines Verfahren.[i]
Zum (nachträglich) Kursiven:
Es gibt in der Tat ein Verfahren für Gleichungen fünften Grades. Ein hübsches und detailliertes Plakat dazu ist im Wolfram Merchandising Shop zu bestellen. Dort findest Du mit ein paar Klickversuchen auch Links zum mathematischen Hintergrund. Fang mal ![[]](/images/popup.gif) hier an.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Fr 07.10.2011 | | Autor: | luna19 |
Danke !!!!
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