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Hallo, weiß jemand wie man hiervon die Nullstellen herausbekommt?:
[mm] \frac{2k-kx^2-2x}{x^4+4x^2+4}=0
[/mm]
Multipliziert man [mm] x^4+4x^2+4 [/mm] einfach mit 0 und hat dann nur noch den Rest(2k.....) ?
Wenn ja, wie löst man dann in diesem Fall nach x auf?
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> Multipliziert man [mm]x^4+4x^2+4[/mm] einfach mit 0 und hat dann nur
> noch den Rest(2k.....) ?
Genau! Bei gebrochen-rationalen Funktionen reicht es eigentlich, wenn man nur den Zähler-Term gleich 0 setzt - aus genau diesem Grund.
> Wenn ja, wie löst man dann in diesem Fall nach x auf?
Den Rest löst du dann mit Hilfe der pq-Formel auf:
[mm]2k-kx^2-2x=0[/mm] erst mal richtig sortieren:
[mm]-kx^2-2x+2k=0[/mm] Damit du die pq-Formel anwenden kannst, darf ja vor dem [mm] x^2 [/mm] keine "Zahl" stehen, und das ist das "-k" im Endeffekt. Deswegen teilst du jetzt die ganze Gleichung durch "-k" und erhältst:
[mm]x^2+\bruch{2}{k}x-2=0[/mm] Und jetzt kommt die pq-Formel:
[mm]x_{1/2}=-\bruch{\bruch{2}{k}}{2}\pm\wurzel{(\bruch{\bruch{2}{k}}{2})^2-(-2)}[/mm]
[mm]x_{1/2}=-\bruch{1}{k}}\pm\wurzel{\bruch{1}{k^2}+2}[/mm]
Die "+2" kannst du jetzt noch auf den Bruch ziehen, um zumindest teilweise die Wurzel zu ziehen:
[mm]x_{1/2}=-\bruch{1}{k}}\pm\wurzel{\bruch{1}{k^2}+\bruch{2k^2}{k^2}}[/mm]
[mm]x_{1/2}=-\bruch{1}{k}}\pm\wurzel{\bruch{1+2k^2}{k^2}}[/mm]
Jetzt teilweise Wurzelziehen:
[mm]x_{1/2}=-\bruch{1}{k}}\pm\bruch{\wurzel{1+2k^2}}{k}[/mm]
Damit erhältst du die zwei Lösungen
[mm]x_1=-\bruch{1}{k}}+\bruch{\wurzel{1+2k^2}}{k}=\bruch{-1+\wurzel{1+2k^2}}{k}[/mm] und
[mm]x_2=-\bruch{1}{k}}-\bruch{\wurzel{1+2k^2}}{k}=\bruch{-1-\wurzel{1+2k^2}}{k}[/mm]
Ich weiss, dass keine wirklich konkreten Nullstellen sind, aber "schönere" Ergebnisse hat die Aufgabe leider nicht zu bieten...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Kristien |
Und woher weiß man, wo die Monotoniebereiche des Graphen liegen, der die Extremstellen bei x1 und x2 hat? Macht man das mit der zweiten Ableitung? Wie soll man hier mir k umgehen?
Und was hat es mit der Fallunterscheidung auf sich? Muss ich da irgend ein k-Wert, der entweder größer oder kleiner 0 ist in die 1.Ableitung einsetzten?Wozu ?
Kristien
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Hallo Kristien!
> Und woher weiß man, wo die Monotoniebereiche des Graphen
> liegen, der die Extremstellen bei x1 und x2 hat? Macht man
> das mit der zweiten Ableitung?
Mit der zweiten Ableitung untersuchst du eine Funktion auf Wendepunkte, also die Punkte an denen die Funktion von links- auf rechtgekrümmt oder umgekehrt wechselt.
Die Monotonierbereiche bestimmst du am einfachsten mit der ersten Ableitung, indem du die Extrempunkte ermittelst. Genau bei den Extrempunkten ist der Anstieg der Tangenten (also die Monotonie) Null. In den Extrempunkten erfolgt also ein wechsel von monoton steigend auf monoton fallend, oder umgekehrt. Um nun zu bestimmen, ob ein Wechsel von steigen auf fallend oder von fallend auf steigend vorliegt setzt du einfach einen Wert links und rechts von deinem Extrempunkt ein.
Beispiel:
Ein ermittelter Extrempunkt liegt bei x=2 (bei x=2 liegt also keine Monotonie vor)
1,99 in die erste Ableitung eingesetzt ergibt z.B. -7,2 --> links vom Extrempunkt verläuft die Funktion demnach monoton fallend (Tangente mit negativem Anstieg von -7,2)
2,01 in die erste Ableitung eingesetzt ergibt z.b. +0,45 --> rechts vom Extrempunkt verläuft die Funktion demnach monoton steigend (Tangente mit positivem anstieg von 0,45).
Im Beispiel erfolgt demnach bei x=2 ein Wechsel der Monotonie von monoton fallend auf monoton steigend.
> Wie soll man hier mir k umgehen?
Den Parameter k wirst du leider immer 'mitschleppen' müssen und in Hinblick auf seinen Definitionsbereich Aussagen darüber treffen müssen um welche Art der Monotonie es sich handelt. Wenn du damit nicht klarkommst, dann poste einfach mal deine Ansätze und wir können dir sicher weiterhelfen.
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> Und was hat es mit der Fallunterscheidung auf sich? Muss
> ich da irgend ein k-Wert, der entweder größer oder kleiner
> 0 ist in die 1.Ableitung einsetzten?Wozu ?
Die Fallunterscheidung ist sehr gehasst (Erfahrungswerte  ). Aber leider ist si ebei Funktionsscharen unumgänglich. Aber sie ist auch nicht allzu schwer. Man braucht lediglich ein wenig mathematisch,analytisches Denken.
Kleines Beispiel:
Angenommen du hast einen allgemeinen Extrempunkt bei x=2k+1 ermittelt. Die Art des Extremums ergibt sich mit der zweiten Ableitung, also setzt du dein x=2k+1 in die zweite Ableitung ein, was folgendes (z.B.) erzeugt:
f(2k+1)= 4k.
Nun hängt es vom k ab, welcher Art dein Extremwert ist. Ist k<0, also negativ, dann ergibt sich in der zweiten Ableitung immer ein negativer Wert, denn 4 multipliziert mit einer negativen Zahl k ergibt wieder eine negative Zahl. Dmnach liegt bei x=2k+1 ein Maximum(Hochpunkt) vor wenn k<0 ist.
Ist k jedoch positiv, also k>0, dann ergibt sich in der zweiten Ableitung ein positiver Wert, denn 4 multipliziert mit einer positiven Zahl k ergibt wiederum eine positive Zahl.Demnach läge bei x=2k+1 ein Minimum vor.
Diese Vorgehensweise musst du auch bei deiner Aufgabe anwenden. Poste am besten einfach deine Ergebnisse und wir können dir am effektivstem weiterhelfen.
> Kristien
Viel Erfolg.
Gruß,
Tommy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Fr 01.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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