Nullstellenbestimmung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Coralie |
| Aufgabe | | Berechnen Sie alle Nullstellen des folgenden Polynoms in C und geben Sie deren Betraege und Argumente an: f(z) = [mm] z^4 [/mm] − [mm] 2z^3 [/mm] + [mm] 7z^2 [/mm] − 30z + 50 |
Hallo,
mein Ansatz wär gewesen, eine Nullstelle durch raten zu finden und eine Polynomdivision zu machen.
Problem ist: Es gibt keine...
Durch eine Faktorisierung müsste ich ja dann die "Mitternachtsformel" anwenden können und somit auch die Nullstellen (komplex).
Mein Problem ist leider...wie faktorisiere ich??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank und Gruß
Coralie :)
|
|
| |
|
Hallo Coralie und erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechnen Sie alle Nullstellen des folgenden Polynoms in C
> und geben Sie deren Betraege und Argumente an: f(z) = [mm]z^4[/mm]
> − [mm]2z^3[/mm] + [mm]7z^2[/mm] − 30z + 50
> Hallo,
>
> mein Ansatz wär gewesen, eine Nullstelle durch raten zu
> finden und eine Polynomdivision zu machen.
> Problem ist: Es gibt keine...
Das kann nicht sein, in [mm] $\IC$ [/mm] hat das Polynom 4 Nullstellen!
Es hat keine reellen Nullstellen, sondern 4 komplexe.
Mit einer Nullstelle [mm] $z_0$ [/mm] ist auch deren komplex Konjugierte, also [mm] $\overline{z}_0$ [/mm] eine Nullstelle.
Ist dir klar, warum das im allg. für komplexe Polynome so ist?
>
> Durch eine Faktorisierung müsste ich ja dann die
> "Mitternachtsformel" anwenden können und somit auch die
> Nullstellen (komplex).
>
> Mein Problem ist leider...wie faktorisiere ich??
Setze mal an, dein Polynom als Produkt zweier Polynome 2ten Grades zu schreiben:
[mm] $z^4-2z^3+7z^2-30z+50=(az^2+bz+c)(dz^2+ez+f)$
[/mm]
Rechterhand ausmultiplizieren und dann einen Koeffizientenvergleich machen ...
Und quadatische Polynome kannst du ja mit den stadtbekannten Mitteln erschlagen ...
Noch ein Tipp, falls es gar nicht weiter geht:
Eine Nullstelle ist [mm] $z_0=2+i$ [/mm] ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
>
> Vielen Dank und Gruß
>
> Coralie :)
Gruß zurück!
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Coralie |
Hey Schachuzipus,
vielen Dank für deine schnelle Antwort :)
Ich hab allerdings noch eine Frage zu der Auftsellung:
$ [mm] z^4-2z^3+7z^2-30z+50=(az^2+bz+c)(dz^2+ez+f) [/mm] $
Ich hätte es nun folgendermaßen gemacht:
$ [mm] (1z^2-2z+7)(30z [/mm] ???) $
ich glaube ich habe irgendweinen Denkfehler drin...wärst du vielleicht so lieb und könntest mir den nächsten Schritt zeigen. Woher kommen die Konstanten (nenn ich sie mal) a,b,c,d,e,f ??? Normalerweise sind dies ja die Zahlen vor dem z. Und a ich ja nur 5 Positionen habe bin ich mit "e" verwirrt.
Ich hoffe du verstehst was ich meine :D
LG
Coralie
|
|
|
| |
|
Hallo Coralie,
> Hey Schachuzipus,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort :)
>
> Ich hab allerdings noch eine Frage zu der Auftsellung:
>
> [mm]z^4-2z^3+7z^2-30z+50=(az^2+bz+c)(dz^2+ez+f)[/mm]
>
> Ich hätte es nun folgendermaßen gemacht:
>
> [mm](1z^2-2z+7)(30z ???)[/mm]
>
> ich glaube ich habe irgendweinen Denkfehler drin...wärst
> du vielleicht so lieb und könntest mir den nächsten
> Schritt zeigen. Woher kommen die Konstanten (nenn ich sie
> mal) a,b,c,d,e,f ??? Normalerweise sind dies ja die Zahlen
> vor dem z. Und a ich ja nur 5 Positionen habe bin ich mit
> "e" verwirrt.
>
Ich versteh nicht so ganz, was du mit deinen letzten beiden Sätzen sagen wolltest, aber ich versuch dir das Verfahren zu erklären.
Wir haben ein Polynom vom Grad 4 über [mm] \IC [/mm] und das kann man in 2 Polynome vom Grad 2 zerlegen und diese beiden Polynome wollen wir bestimmen, denn diese kann man mit der bewerten pq-Formel lösen.
$ [mm] z^4-2z^3+7z^2-30z+50=(az^2+bz+c)(dz^2+ez+f) [/mm] $
a,b,c,d,e,f musst du bestimmen und das machst du über Koeffizientenvergleich. Multipliziere die rechte Seite aus und dann vergleichst du zum Beispiel alles, was vor [mm] z^4 [/mm] steht. Links steht ja sozusagen eine 1 davor und rechts steht sowas wie [mm] (2a+4f)z^4(Ist [/mm] frei erfunden. Die Werte sind erfunden). Dann würdest du 1=2a+4f setzen. Das machst du für [mm] z,z^2,z^3,z^4 [/mm] und Konstante und dann müsste das Gleichungssystem lösbar sein.
Also versuchs mal und poste deine Rechnung
> Ich hoffe du verstehst was ich meine :D
>
> LG
>
> Coralie
>
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
|
