Nullstellenbestimmung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Do 14.06.2012 | | Autor: | sandp |
Hey,
hier ist meine Funktion, die ich gleich 0 gesetzt habe um die Nullstellen zu bestimmen
f(x) = [mm] x\* \bruch{x^{25}-1}{x-1} [/mm] - 74000 = 0
die Frage ist jetzt nur wie bekomme ich eine Lösung für x.
den ersten Teil kann ich als eine Summe schreiben, bringt mir das etwas?
x [mm] \* \bruch{x^{25}-1}{x-1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{25} x^{i}
[/mm]
Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
mfg sandp
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Hallo sandp,
das ist doch sicher keine Aufgabe für die Schule.
> Hey,
> hier ist meine Funktion, die ich gleich 0 gesetzt habe um
> die Nullstellen zu bestimmen
>
> f(x) = [mm]x\* \bruch{x^{25}-1}{x-1}[/mm] - 74000 = 0
>
> die Frage ist jetzt nur wie bekomme ich eine Lösung für
> x.
> den ersten Teil kann ich als eine Summe schreiben, bringt
> mir das etwas?
> x [mm]\* \bruch{x^{25}-1}{x-1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{25} x^{i}[/mm]
Das kannst Du nur, wenn Du die Funktion an der Stelle x=1, wo sie ja nicht definiert ist, stetig ergänzt - was hier immerhin möglich ist. Dann ist Deine Summe korrekt.
Weiter bringt Dich das aber nicht.
Es gibt mindestens drei Lösungen, will heißen: drei Nullstellen, aber sie sind nur numerisch zu finden. Wahrscheinlicher gibt es übrigens 25 Nullstellen...
Welche numerischen Verfahren stehen Dir denn zur Verfügung?
Eine Nullstelle liegt übrigens bei x=1,498475855.
Grüße
reverend
> Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
> mfg sandp
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Do 14.06.2012 | | Autor: | sandp |
> Hallo sandp,
>
> das ist doch sicher keine Aufgabe für die Schule.
Danke für die schnelle Antwort.
Diese Aufgabe wurde in der Berufsschule gestellt, ich bin selbst nur von einem Freund um Rat gefragt worden.
>
> > Hey,
> > hier ist meine Funktion, die ich gleich 0 gesetzt habe
> um
> > die Nullstellen zu bestimmen
> >
> > f(x) = [mm]x\* \bruch{x^{25}-1}{x-1}[/mm] - 74000 = 0
> >
> > die Frage ist jetzt nur wie bekomme ich eine Lösung für
> > x.
> > den ersten Teil kann ich als eine Summe schreiben,
> bringt
> > mir das etwas?
> > x [mm]\* \bruch{x^{25}-1}{x-1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{25} x^{i}[/mm]
>
> Das kannst Du nur, wenn Du die Funktion an der Stelle x=1,
> wo sie ja nicht definiert ist, stetig ergänzt - was hier
> immerhin möglich ist. Dann ist Deine Summe korrekt.
> Weiter bringt Dich das aber nicht.
>
> Es gibt mindestens drei Lösungen, will heißen: drei
> Nullstellen, aber sie sind nur numerisch zu finden.
> Wahrscheinlicher gibt es übrigens 25 Nullstellen...
>
Drei lösungen?
Gibt es nicht nur eine reelle Nullstelle und dann noch zusätzlich 25 komplexe Nullstellen? Weil der Grad gibt mir doch an wie viele Nullstellen es gibt?
> Welche numerischen Verfahren stehen Dir denn zur
> Verfügung?
>
Mit Newton denke ich könnte man die Aufgabe lösen, aber wie du schon gesagt hast kann ich mir ebenfalls nicht vorstellen, dass sie dort solche numerischen Verfahren benutzen. Ich dachte, dass es vllt ein Trick gibt, womit man die Aufgabe einfach lösen kann. Woran sieht man eigentlich dass diese Aufgabe oder auch anderen Funktionen, nur mit numerischen Verfahren lösen kann?
> Eine Nullstelle liegt übrigens bei x=1,498475855.
>
Ja diese hatte ich mit Hilfe des Computers auch gefunden
> Grüße
> reverend
>
> > Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
> > mfg sandp
>
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Hallo nochmal,
> > das ist doch sicher keine Aufgabe für die Schule.
> Danke für die schnelle Antwort.
> Diese Aufgabe wurde in der Berufsschule gestellt, ich bin
> selbst nur von einem Freund um Rat gefragt worden.
Hm. Und da sollen die wirklich eine Nullstelle oder gar alle (falls es mehr als eine gibt) finden?
> > Es gibt mindestens drei Lösungen, will heißen: drei
> > Nullstellen, aber sie sind nur numerisch zu finden.
> > Wahrscheinlicher gibt es übrigens 25 Nullstellen...
> >
> Drei lösungen?
> Gibt es nicht nur eine reelle Nullstelle und dann noch
> zusätzlich 25 komplexe Nullstellen? Weil der Grad gibt mir
> doch an wie viele Nullstellen es gibt?
Und woher weißt Du, dass alle anderen komplex sind? Insgesamt sind es 25; ich sehe aber, dass ich mich vorhin auch geirrt habe. Ich kann doch auch nur eine garantieren, und es spricht alles dafür, dass es die einzige reelle ist.
Allein das zu zeigen, dürfte die Mittel der Berufsschule aber normalerweise übersteigen.
> > Welche numerischen Verfahren stehen Dir denn zur
> > Verfügung?
> >
> Mit Newton denke ich könnte man die Aufgabe lösen, aber
> wie du schon gesagt hast kann ich mir ebenfalls nicht
> vorstellen, dass sie dort solche numerischen Verfahren
> benutzen.
Das vielleicht nicht, aber eine einfache Intervallschachtelung reicht ja auch, man fummelt vielleicht nur ein bisschen länger herum. Tabellenkalkulationen oder GTR oder ein bisschen Programmierung müsste es doch auch an der Berufsschule geben.
> Ich dachte, dass es vllt ein Trick gibt, womit
> man die Aufgabe einfach lösen kann. Woran sieht man
> eigentlich dass diese Aufgabe oder auch anderen Funktionen,
> nur mit numerischen Verfahren lösen kann?
Naja, wenn man nicht durch geschickte Faktorisierung etwas erreichen kann, bleiben einem ja nur die analytischen Methoden, Polynomnullstellen zu ermitteln. Das geht ja nur bis Grad 3, danach wirds eigentlich immer numerisch.
> > Eine Nullstelle liegt übrigens bei x=1,498475855.
> >
> Ja diese hatte ich mit Hilfe des Computers auch gefunden
Den habe ich auch genommen, da gerade kein Bierdeckel zur Hand war. 
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Do 14.06.2012 | | Autor: | sandp |
> Hallo nochmal,
>
> > > das ist doch sicher keine Aufgabe für die Schule.
> > Danke für die schnelle Antwort.
> > Diese Aufgabe wurde in der Berufsschule gestellt, ich
> bin
> > selbst nur von einem Freund um Rat gefragt worden.
>
> Hm. Und da sollen die wirklich eine Nullstelle oder gar
> alle (falls es mehr als eine gibt) finden?
ich vermute mal, dass sie sich nur die reellen mit dem GTR anzeigen sollen
>
> > > Es gibt mindestens drei Lösungen, will heißen: drei
> > > Nullstellen, aber sie sind nur numerisch zu finden.
> > > Wahrscheinlicher gibt es übrigens 25 Nullstellen...
> > >
> > Drei lösungen?
> > Gibt es nicht nur eine reelle Nullstelle und dann noch
> > zusätzlich 25 komplexe Nullstellen? Weil der Grad gibt mir
> > doch an wie viele Nullstellen es gibt?
>
> Und woher weißt Du, dass alle anderen komplex sind?
> Insgesamt sind es 25; ich sehe aber, dass ich mich vorhin
> auch geirrt habe. Ich kann doch auch nur eine garantieren,
> und es spricht alles dafür, dass es die einzige reelle
> ist.
mein Bierdeckel hat mir das gerade ausgespuckt ;)
du hast recht es sind insgesamt 25 und nur eine reelle Nullstelle
> Allein das zu zeigen, dürfte die Mittel der Berufsschule
> aber normalerweise übersteigen.
>
> > > Welche numerischen Verfahren stehen Dir denn zur
> > > Verfügung?
> > >
> > Mit Newton denke ich könnte man die Aufgabe lösen, aber
> > wie du schon gesagt hast kann ich mir ebenfalls nicht
> > vorstellen, dass sie dort solche numerischen Verfahren
> > benutzen.
>
> Das vielleicht nicht, aber eine einfache
> Intervallschachtelung reicht ja auch, man fummelt
> vielleicht nur ein bisschen länger herum.
> Tabellenkalkulationen oder GTR oder ein bisschen
> Programmierung müsste es doch auch an der Berufsschule
> geben.
>
> > Ich dachte, dass es vllt ein Trick gibt, womit
> > man die Aufgabe einfach lösen kann. Woran sieht man
> > eigentlich dass diese Aufgabe oder auch anderen Funktionen,
> > nur mit numerischen Verfahren lösen kann?
>
> Naja, wenn man nicht durch geschickte Faktorisierung etwas
> erreichen kann, bleiben einem ja nur die analytischen
> Methoden, Polynomnullstellen zu ermitteln. Das geht ja nur
> bis Grad 3, danach wirds eigentlich immer numerisch.
>
> > > Eine Nullstelle liegt übrigens bei x=1,498475855.
> > >
> > Ja diese hatte ich mit Hilfe des Computers auch gefunden
>
> Den habe ich auch genommen, da gerade kein Bierdeckel zur
> Hand war.
>
> lg
> reverend
>
Danke nochmals für deine Hilfe
Gruß sandp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 14.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
> hier ist meine Funktion, die ich gleich 0 gesetzt habe um
> die Nullstellen zu bestimmen
>
> f(x) = [mm]x\* \bruch{x^{25}-1}{x-1}[/mm] - 74000 = 0
>
> die Frage ist jetzt nur wie bekomme ich eine Lösung für
> x.
> den ersten Teil kann ich als eine Summe schreiben, bringt
> mir das etwas?
> x [mm]\* \bruch{x^{25}-1}{x-1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{25} x^{i}[/mm]
>
> Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
> mfg sandp
Die Funktion f hat auf [mm] \IR [/mm] genau eine Nullstelle ! Mit f meine ich die stetige Fotsetzung in den Punkt 1.
Zunächst sieht man dass f(x)<0 ist für x [mm] \le [/mm] 0.
Dann ist f auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar und für x>0 ist f'(x)>0. f ist also auf (0, [mm] \infty) [/mm] sreng wachsend.
Es ist f(1)<0 und f(2) >0. Nach dem Zwischenwertsatz hat f in (1,2) eine Nullstelle.
Fazit: f hat auf [mm] \IR [/mm] genau eine Nullstelle.
ich bin mir im Klaren drüber, dass obige Methoden nicht für die Berufsschule geeignet sind.
FRED
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