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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:26 Mo 20.07.2009 | | Autor: | Adrian.Z |
Hey es geht sich um Grunde nur ums ermitteln von a OHNE Taschenrechner. Die Umformung welche ich hier vollzogen habe ging bis zum Nullstellenproblem ohne Taschenrechner problemlos. Aber das Anwenden der PQ Formel ist halt ohne Taschenrechner nicht machbar ( für mich zumindest). Wäre über eine Idee oder einen Trick dies einfacher aufzulösen sehr dankbar.
[mm] \bruch{1}{2}a [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}\wurzel{a^2 + 1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3}\wurzel{a^2 + 1} )^2 [/mm] = ( [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}}-\bruch{1}{2}a)^2
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{9}(a^2+1)=\bruch{4}{5}-\bruch{2}{\wurzel{5}}a+\bruch{1}{4}a^2
[/mm]
[mm] \gdw 0=\bruch{5}{4}a^2-\bruch{18}{\wurzel{5}}a+\bruch{31}{5}
[/mm]
[mm] \gdw 0=a^2-\bruch{72}{5\wurzel{5}}a+\bruch{124}{25}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich habe die Gleichung noch auf die Form
[mm] $\frac{25}{4}\,a^2-18\sqrt{5}\,a+31=0$
[/mm]
gebracht und dann die abc-Formel benützt.
Damit ist es möglich, die Lösungen als Viel-
fache von [mm] \sqrt{5} [/mm] darzustellen.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Mo 20.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Hey es geht sich um Grunde nur ums ermitteln von a OHNE
> Taschenrechner. Die Umformung welche ich hier vollzogen
> habe ging bis zum Nullstellenproblem ohne Taschenrechner
> problemlos. Aber das Anwenden der PQ Formel ist halt ohne
> Taschenrechner nicht machbar ( für mich zumindest). Wäre
> über eine Idee oder einen Trick dies einfacher aufzulösen
> sehr dankbar.
>
> [mm]\bruch{1}{2}a[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{a^2 + 1}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] ( [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{a^2 + 1} )^2[/mm] = (
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}-\bruch{1}{2}a)^2[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{9}(a^2+1)=\bruch{4}{5}-\bruch{2}{\wurzel{5}}a+\bruch{1}{4}a^2[/mm]
>
> [mm]\gdw 0=\bruch{5}{4}a^2-\bruch{18}{\wurzel{5}}a+\bruch{31}{5}[/mm]
Hallo,
was hast du denn hier gemacht?
Auf [mm] \bruch{1}{9}(a^2+1)=\bruch{4}{5}-\bruch{2}{\wurzel{5}}a+\bruch{1}{4}a^2 [/mm] muss jetzt der Rechenbefehl [mm] -\bruch{1}{9}a^2-\bruch{1}{9} [/mm] angewendet werden.
Dabei entsteht [mm] 0=\bruch{5}{36}a^2-\bruch{2}{\wurzel{5}}a+\bruch{31}{45}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> [mm]\gdw 0=a^2-\bruch{72}{5\wurzel{5}}a+\bruch{124}{25}[/mm]
Achso, ja, dann ist das ja bis hieher richtig. Nun ist [mm] p=-\bruch{72}{5\wurzel{5}} [/mm] und [mm] q=\bruch{124}{25}. [/mm] Weiter geht es mit sturem einsetzen in die Lösungsformel.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mo 20.07.2009 | | Autor: | Adrian.Z |
Ja, aber das Problem ist ich komme ohne Taschenrechner nicht auf die Lösung.. es soll ja [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}} [/mm] rauskommen und ich muss es genau zu dieser Lösung umformen, da es sich hierbei um einen Beweis handelt.
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Hallo Adrian,
Nun, im Kopf wird das schwirig, aber mit einem Blatt Papier und einem Stift sollte das doch klappen:
Du hast [mm] $a^2-\frac{72}{5\sqrt{5}}a+\frac{124}{25}=0$
[/mm]
Damit ist (siehe bei abakus' Antwort) [mm] $p=-\frac{72}{5\sqrt{5}}$ [/mm] und [mm] $q=\frac{124}{25}$
[/mm]
Für die p/q-Formel brauchst du [mm] $-\frac{p}{2}$
[/mm]
Das ist [mm] $-\frac{1}{2}\cdot{}\left(-\frac{72}{5\sqrt{5}}\right)=\frac{36}{5\sqrt{5}}$
[/mm]
Damit [mm] $a_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{p}{2}\right)^2-q}=\frac{36}{5\sqrt{5}}\pm\sqrt{\frac{36^2}{25\cdot{}5}-\frac{124}{25}}$
[/mm]
Innerhalb der Wurzel musst du halt gleichnamig machen usw.
Rechne doch einfach mal los, du kannst ja deine Rechnung zur Kontrolle hier einstellen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mo 20.07.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> es soll ja [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm] rauskommen
Genau das kommt auch raus. Und es gibt noch eine zweite Lösung aus der p-q-Formel.
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Hallo Ralph,
> > es soll ja [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm] rauskommen
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> Genau das kommt auch raus. Und es gibt noch eine zweite
> Lösung aus der p-q-Formel.
... die aber unsinnig ist, da sie in der Ausgangsgleichung (umgestellt), also in
[mm] $\frac{1}{3}\sqrt{a^2+1}=\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}a$ [/mm] rechterhand zu einem negativen Ausdruck führt ...
Schuld ist das Quadrieren in der Umformung ... es macht eine Probe der Lösung(en) notwendig
LG
schachuzipus
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Hallo Adrian,
nur noch ein kurzer Hinweis, der mir wichtig zu erwähnen scheint.
Du solltest etwas sparsamer mit Äquivalenzpfeilen umgehen, das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.
Es gilt nur [mm] $x=y\Rightarrow x^2=y^2$
[/mm]
Die Umkehrung gilt i.A. nicht.
Bsp. [mm] $9=3^2=(-3)^2$, [/mm] aber [mm] $3\neq [/mm] -3$
Durch das Quadrieren hast du eine "Lösung" hinzugepfuscht, du musst nachher also durch Einsetzen aller Lösungen in die Ausgangsgleichung die Probe machen, welche passt.
LG
schachuzipus
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