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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Nullstellenbestimmung von ln-f
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Nullstellenbestimmung von ln-f: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 So 30.06.2013
Autor: arti8

Hallo,

ich möchte gerne die nullstellen aus folgender Gleichung bestimmen:

f´(x)= [mm] \bruch{2*ln(3x)-(ln(3x)^2}{x^2} [/mm]

Weiß aber nicht wie ich es schaffe. Habe schon viel probiert.

Nullsetzen:
[mm] \bruch{2*ln(3x)-(ln(3x)^2}{x^2} [/mm] = 0    / e
[mm] \bruch{2*3x-3x*ln(3x)}{x^2} [/mm] = 1  

Habe ich im 2ten Schritt bereits einen Fehler gemacht ?
        
Bezug
Nullstellenbestimmung von ln-f: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 So 30.06.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>
> ich möchte gerne die nullstellen aus folgender Gleichung
> bestimmen:

>
> f´(x)= [mm]\bruch{2*ln(3x)-(ln(3x)^2}{x^2}[/mm]

>
> Weiß aber nicht wie ich es schaffe. Habe schon viel
> probiert.

>
> Nullsetzen:
> [mm]\bruch{2*ln(3x)-(ln(3x)^2}{x^2}[/mm] = 0 / e

Das ist zwar noch nicht falsch, aber viel zu umständlich: ei´n Bruch wird genau dann gleich Null, wenn sein Zähler Null wird. Also rechnet man hier

f'(x)=0 <=> [mm] 2*ln(3x)-(ln(3x))^2=0 [/mm]

> [mm]\bruch{2*3x-3x*ln(3x)}{x^2}[/mm] = 1

>
> Habe ich im 2ten Schritt bereits einen Fehler gemacht ?

Ja, und zwar einen gewaltigen Fehler. Du kannst doch nicht annehmen, wenn du die Gleichung exponierst, dass man einfach jedes Vorkommen des Symbols ln unter Umgehung sämtlicher Potenz- und Logarithmengesetze einfach weglassen kann?

Um hier klarer zu sehen, wendet man am besten auf die von mir vorgeschlagene Gleichung

[mm] 2*ln(3x)-(ln(3x))^2=0 [/mm]

den Satz vom Nullprodukt an, nachdem man vorher faktorisiert hat:

[mm] 2*ln(3x)-(ln(3x))^2=0 [/mm] <=>
ln(3x)*(2-ln(3x))=0

Und jetzt du. :-)


Gruß, Diophant
 
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Nullstellenbestimmung von ln-f: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 So 30.06.2013
Autor: arti8

Danke, ich habs geahnt. :P

Also hat mich jetzt einen Schritt weiter gebracht die vorgeschlagene Gleichung.

Also:

ln(3x)*(2-ln(3x))=0   /e
3x * (2-ln(3x)) = 1   /   1. Fall = x1 = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

nun zum 2ten:

ich setzte nun ja: 2-ln(3x) = 0

2-ln(3x) = 0 /e
[mm] e^2-3x [/mm] = 1   /+3x /-1
[mm] e^2 [/mm] - 1 = 3x [mm] /\bruch{1}{3} [/mm]
x2 = [mm] \bruch{e^2 - 1}{3} [/mm]

Die 2te Nullstelle ist falsch. Das "-1" taucht nicht auf. Aber ich versteh nicht warum.
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Nullstellenbestimmung von ln-f: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 So 30.06.2013
Autor: arti8

ok ich habs herausgefunden,

2 = ln(3x)    /und jetzt erst exponieren

[mm] e^2 [/mm] = 3x      / [mm] *\bruch{1}{3} [/mm]

[mm] \bruch{e^2}{3} [/mm] = x2

Aber warum darf ich nicht vorher exponieren und dann umstellen ?
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Bezug
Nullstellenbestimmung von ln-f: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 So 30.06.2013
Autor: schachuzipus

Hallo arti8,


> Danke, ich habs geahnt. :P

>
> Also hat mich jetzt einen Schritt weiter gebracht die
> vorgeschlagene Gleichung.

>
> Also:

>
> ln(3x)*(2-ln(3x))=0 /e
> 3x * (2-ln(3x)) = 1  [notok]

Wie kommst du darauf? Was ist mit den Potenzgesetzen?

Mach's dir mal nicht so schwer.

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Also: [mm]\red{\ln(3x)}\cdot{}\blue{(2-\ln(3x))}=0 \ \gdw \ \red{\ln(3x)=0} \ \text{oder} \ \blue{2-\ln(3x)=0}[/mm]

Untersuche beides getrennt - hier hilft dann auch die Exponentialfunktion ...

> / 1. Fall = x1 = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]

Das ist die richtige Fallunterscheidung, die sich aber nicht aus deiner Rechnung ergibt, sondern genau aus dem, was ich oben geschrieben habe ...

>
> nun zum 2ten:

>
> ich setzte nun ja: 2-ln(3x) = 0 [ok]

>
> 2-ln(3x) = 0 /e
> [mm]e^2-3x[/mm] = 1 /+3x /-1 [notok]

Du ignorierst alle Potenzgesetze. Es ist [mm]e^{a-b}\neq e^{a}-e^b[/mm]

Der einfachste Weg ist, [mm]2-\ln(3x)=0[/mm] umzustellen nach [mm]\ln(3x)=2[/mm] und dann die Exponentialfunktion draufzuschmeißen.

Bei deinem Weg musst du die Potenzgesetze beachten:

[mm]e^{2-\ln(3x)}=1[/mm]

[mm]\Rightarrow e^2\cdot{}e^{-\ln(3x)}=1[/mm] ...

> [mm]e^2[/mm] - 1 = 3x [mm]/\bruch{1}{3}[/mm]
> x2 = [mm]\bruch{e^2 - 1}{3}[/mm]

>
> Die 2te Nullstelle ist falsch. Das "-1" taucht nicht auf.
> Aber ich versteh nicht warum.

Weil du deine eigenen Potenzgesetze erfindest ;-)

Gruß

schachuzipus
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Nullstellenbestimmung von ln-f: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 So 30.06.2013
Autor: arti8

ok danke.

Ich dachte es würde einfach werden.
Dann muss ich mir das Thema mnochmal ganz genau anschauen. Hatte damals schon meine Schwierigkeiten mit dem Thema.

Vllt. hast du eine Empfehlung für mich, wo ich das am besten anschaulich studieren kann ? (eine Internetseite oder Buch)
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Bezug
Nullstellenbestimmung von ln-f: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 So 30.06.2013
Autor: M.Rex

Hallo

>
> Vllt. hast du eine Empfehlung für mich, wo ich das am
> besten anschaulich studieren kann ? (eine Internetseite
> oder Buch)

Zum Nachlesen der Grundlagen kann ich die Seite []poenitz-net.de nur empfehlen.

Marius
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