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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Fr 01.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
| Aufgabe | Sei R ein Ring. Ein Element a 2 R heißt ein Nullteiler in R, wenn es ein b 2 R, b 6= 0 so gibt, dass ab = 0 ist.
a.) Beweisen Sie, dass ein Element a 2 Z/nZ entweder invertierbar oder ein Nullteiler ist.
b.) Sei a ein Nullteiler in Z/nZ. Beweisen Sie, dass az für alle z 2 Z ein Nullteiler in Z/nZ ist.
c.) Bestimmen Sie alle Nullteiler von Z/12Z |
c:) Lösungsansatz:
Tabelle zum Finden der Nullteiler (Resteklassering Modulo 12).
Nullteiler: a*b mod 12 = 0
Elemente = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
Ergebnis:
Nullteiler: N= {0,2,3,4,6,8,9,10}
Inverse Elemente E= {1,5,7,11}
Diesen Punkt hatte ich auf anhieb verstanden.
gleichzeitig, ist der Punkt c doch eigentlich auch ein indiz dafür dass Punkt a erfüllt ist. Aber wie Beweise ich sowas denn jetzt ?
b.) da ist auch eher mein Problem, dass ich absolut nicht weiß, wie ich mit einem Beweis anfangen soll.
die Aufgabe b geht wohl darauf hinaus, dass ein Vielfaches von a auch immer ein Nullteiler sein muss.
Beispiel: a = 4
8 / 4 = 2 Rest 0
12 / 4 = 3 Rest 0
16/ 4= 4 Rest 0
usw......
aber wie löse ich die Aufgabe richtig, es steht ja BEWEISEN sie.....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Fr 01.04.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei R ein Ring. Ein Element a 2 R heißt ein Nullteiler in
> R, wenn es ein b 2 R, b 6= 0 so gibt, dass ab = 0 ist.
>
> a.) Beweisen Sie, dass ein Element a 2 Z/nZ entweder
> invertierbar oder ein Nullteiler ist.
>
> b.) Sei a ein Nullteiler in Z/nZ. Beweisen Sie, dass az
> für alle z 2 Z ein Nullteiler in Z/nZ ist.
>
> c.) Bestimmen Sie alle Nullteiler von Z/12Z
> c:) Lösungsansatz:
> Tabelle zum Finden der Nullteiler (Resteklassering Modulo
> 12).
> Nullteiler: a*b mod 12 = 0
> Elemente = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
>
> Ergebnis:
> Nullteiler: N= {0,2,3,4,6,8,9,10}
> Inverse Elemente E= {1,5,7,11}
> Diesen Punkt hatte ich auf anhieb verstanden.
Die Dinger heißen invertierbare Elemente. Die Liste ist OK, aber warum?
> gleichzeitig, ist der Punkt c doch eigentlich auch ein
> indiz dafür dass Punkt a erfüllt ist. Aber wie Beweise
> ich sowas denn jetzt ?
>
> b.) da ist auch eher mein Problem, dass ich absolut nicht
> weiß, wie ich mit einem Beweis anfangen soll.
>
> die Aufgabe b geht wohl darauf hinaus, dass ein Vielfaches
> von a auch immer ein Nullteiler sein muss.
>
> Beispiel: a = 4
> 8 / 4 = 2 Rest 0
> 12 / 4 = 3 Rest 0
> 16/ 4= 4 Rest 0
> usw......
> aber wie löse ich die Aufgabe richtig, es steht ja
> BEWEISEN sie.....
Aus deiner Beispielrechnung geht für micht nicht hervor, wieso 8 z. B. ein Nullteiler sein soll. Was ist das b?
Aber wenn a ein Nullteiler ist mit ab = 0, was ist dann azb? Die Multiplikation in diesem Ring ist kommutativ und assoziativ sowieso.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 01.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Hey Dieter,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
ich habe die Nullteiler über folgende Tabelle gefunden.
1. Zeile entspricht a, die erste Spalte entspricht b
wenn die Multiplikation zwischen a * b mod 12 = 0 ergibt, dann ist die Zahl ein Nullteiler. Das ist doch richtig , oder ?
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
3 3 6 9 0 3 6 9 0 3 6 9
4 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8
5 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7
6 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6
7 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5
8 8 4 0 8 4 0 8 4 0 8 4
9 9 6 3 0 9 6 3 0 9 6 3
10 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2
11 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Über diese Rechnung habe ich dann auch die invertierbaren Elemente gefunden nämlich die, wenn a * b mod 12 = 1 ergibt. Das ist ja soweit auch richtig oder ?
Ok ich verstehe es glaube ich langsam. Um den Teil b) der Aufgabe zu lösen, muss ich nur noch den Beweis anstellen, dass der Ring kommutativ und assoziativ ist.
also:
a * ( b * c) = (a * B) * c
und
a * b = b * a
wenn ab = 0,
dann ist azb = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Fr 01.04.2011 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") (das hatte ich vergessen)
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> ich habe die Nullteiler über folgende Tabelle gefunden.
> 1. Zeile entspricht a, die erste Spalte entspricht b
> wenn die Multiplikation zwischen a * b mod 12 = 0 ergibt,
> dann ist die Zahl ein Nullteiler. Das ist doch richtig ,
> oder ?
>
> * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
> 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
> 2 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
> 3 3 6 9 0 3 6 9 0 3 6 9
> 4 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8
> 5 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7
> 6 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6
> 7 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5
> 8 8 4 0 8 4 0 8 4 0 8 4
> 9 9 6 3 0 9 6 3 0 9 6 3
> 10 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2
> 11 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
>
> Über diese Rechnung habe ich dann auch die invertierbaren
> Elemente gefunden nämlich die, wenn a * b mod 12 = 1
> ergibt. Das ist ja soweit auch richtig oder ?
Das ist richtig, aber nun ist es unnötig viel, jedenfalls als Antwort auf die Frage der Aufgabe. Da reicht es völlig, wenn du zu jedem Element a ein b bzw. das [mm] a^{-1} [/mm] angibst. Dabei hilft dir deine Tabelle natürlich, aber sie gehört eher auf den Schmierzettel.
> Ok ich verstehe es glaube ich langsam. Um den Teil b) der
> Aufgabe zu lösen, muss ich nur noch den Beweis anstellen,
> dass der Ring kommutativ und assoziativ ist.
> also:
> a * ( b * c) = (a * B) * c
> und
> a * b = b * a
>
> wenn ab = 0,
> dann ist azb = 0
Also: Sei a Nullteiler und b so gewählt, daß ab = 0 ist. Dann ist
(az)b = a(zb) wg. Ass.
= a(bz) wg. Komm.
= (ab)z wg. Ass.
= 0z nach Vorauss.
= 0 wegen der Rechenregeln,
also ist az Nullteiler.
Der begründende Text gehört untrennbar zur Lösung, d. h. zum Beweis. Ein Beweis ist nichts anderes als ein begründender Text.
Soweit erstmal
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Fr 01.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Vielen lieben Dank für die nette Erklärung.
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