www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesNullvektor und Matrix
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Nullvektor und Matrix
Nullvektor und Matrix < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nullvektor und Matrix: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Sa 01.12.2012
Autor: ohlala

Aufgabe
Sei [mm][mm] \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in \IR^3[/mm]  [mm] ein vom Nullvektor verschiedener Vektor und  [mm] A:= [mm] \begin{pmatrix} a & c & b \\ b & a & c \\ c & b & a \end{pmatrix}[/mm]   [mm].
a) Zeige: Ist a+b+c =0, so ist A nicht invertierbar.
b) Zeige: Ist A nicht invertierbar und a=0, so gilt a+b+c=0.
c) Kann man in b) auf die Voraussetzung a=0 verzichten?

Hallo zusammen,

also ich habe mir darüber schon ein paar Gedanken gemacht, weiß aber nicht ob diese so ok bzw. zielführend sind.

Vorweg habe ich det A "berechnet": [mm] det A= [mm] a^3+b^3+c^3-3abc[/mm]   [mm]

a)Sei a+b+c=0 dann kann ich drei Fälle unterscheiden, nämlich:
Fall1: Sei c=0
Fall2: Sei b=0
Fall3: Sei a=0

In allen 3 Fällen läuft es dann analog wie folgt ab:
z.B. Fall1: Sei c=0. Dann folgt daraus a+b=0, woraus b= -a folgt.
Eingesetzt in det A folgt:  [mm] det A= [mm] a^3-a^3 [/mm] =0 [mm]
Woraus folgt, dass A nicht invertierbar ist.

b) Da det A=0 ist, folgt:
[mm] [mm] a^3+b^3+c^3-3abc [/mm] = 0 und mit a=0: [mm] b^3+c^3=0[/mm]  [mm]
Dann ist [mm] [mm] b^3= -c^3[/mm]  [mm].

Folgt dann daraus, dass wir uns in [mm] [mm] \IR[/mm]  [mm], dass b=0 ist???

Stimmen die Ansätze? Und wie mache ich in b) weiter?

        
Bezug
Nullvektor und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Sa 01.12.2012
Autor: Walde

Hi ohlala,

bei der Fallunterscheidung ist das Problem, dass du damit nicht alle möglichen Fälle abgedeckt hast. Es könnte zB a=b=1 c=-2 sein, dieser Fall ist bei keinem der drei dabei. Man kommt aber denke ich ohne Fallunterscheidung aus. Betrachte einfach [mm] a+b+c=0\Rightarrow [/mm] a=-b-c und setze das in det A ein. Dann solltest du auf det A=0 kommen.

Bei der b) hast du es fast schon da stehen. Aus [mm] b^3=-c^3 [/mm] folgt b=-c

LG walde

Bezug
                
Bezug
Nullvektor und Matrix: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Sa 01.12.2012
Autor: ohlala

Danke, bei der a) hatte ich ja mal total ein Brett vor dem Kopf ;-)

Zur b) hab ich noch die Frage, wie du die Aufgabe nun weiter auf das Papier bringen würdest, damit es schlüssig ist.
Also wir haben jetzt:
det A=0, a=0 und b=-c
Setze ich dass nun hier ein?:
[mm] [mm] b^3+c^3=0, [/mm] dann ist mit b=-c: [mm] (-c)^3+c^3=0=0+0[/mm]  [mm]
[mm] 0=0+0= a+0 = a+(-c+c)=a+(-c)+c [mm]
Mit b=-c folgt dann: [mm] 0= a+b+c [mm]

c) Man kann nicht auf die Vorraussetzung a=0 verzichten.

Vielen Dank für die schon geleistete Hilfe.
LG ohlala

Bezug
                        
Bezug
Nullvektor und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Sa 01.12.2012
Autor: Walde


> Danke, bei der a) hatte ich ja mal total ein Brett vor dem
> Kopf ;-)

Kommt vor ;-)

>  
> Zur b) hab ich noch die Frage, wie du die Aufgabe nun
> weiter auf das Papier bringen würdest, damit es schlüssig
> ist.
>  Also wir haben jetzt:
>  det A=0, a=0 und b=-c

Ja, ok.


>  Setze ich dass nun hier ein?:
>  [mm]b^3+c^3=0,[/mm] dann ist mit b=-c: [mm](-c)^3+c^3=0=0+0[/mm]

Nein, hier nicht, von da kommt es ja.

> [mm]0=0+0= a+0 = a+(-c+c)=a+(-c)+c[/mm]
> Mit b=-c folgt dann: [mm]0= a+b+c[/mm]

Das ginge wohl, aber du fängst quasi von hinten an. Schöner fände ich es andersrum: Du hast a=0 und b=-c und zu zeigen: a+b+c=0. Also einfach hier einsetzen: a+b+c=0+(-c)+c=0 fertig.

>  c) Man kann nicht auf die Vorraussetzung a=0 verzichten.

Das stimmt, aber für eine saubere Lösung solltest du eine Begründung hinschreiben. Am besten ein Beispiel, bei dem det A=0 aber [mm] a+b+c\not=0. [/mm]

> Vielen Dank für die schon geleistete Hilfe.

Gern geschehen.

> LG ohlala

LG walde

Bezug
        
Bezug
Nullvektor und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Sa 01.12.2012
Autor: ullim

Hi,

noch ein anderer Lösungsweg. Weil man die Determinante auch schreiben kann als

[mm] det(A)=(a+b+c)\left(a^2-ab-ac+b^2-bc+c^2\right) [/mm] sieht man

a) wenn a+b+c=0 gilt ist det(A)=0

b) wenn a=0 gilt is [mm] det(A)=(b+c)\left(b^2-bc+c^2\right) [/mm] und weil [mm] b^2-bc+c^2>0 [/mm] für [mm] bc\ne0 [/mm] gilt, muss a+b+c=0 gelten.

c) für a=b=c=1 ist [mm] a^2-ab-ac+b^2-bc+c^2=0 [/mm] und deshalb det(A)=0 aber [mm] a+b+c\ne0 [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]