Numerisch stabil < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 So 09.03.2014 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Ein Algorithmus $f'$ heißt numerisch stabil, wenn er falls alle zulässigen und in der Größenordnung der Maschinengenauigkeit gestörten Eingabedaten akzeptable Resultate liefert, d.h.
$|f(x')-f'(x)| [mm] \le [/mm] C *eps$ bzw. [mm] $\frac{|f(x')-f'(x)|}{|f(x)|} \le [/mm] C * eps$ |
Hallo Leute,
habe mal eine Frage dazu. Und zwar habe ich in Wikipedia gelesen, dass $x'$ die gestörte Eingabevariable ist, aber kann mir nicht vorstellen, was genau das heißen soll. $f$ und $x$ sind doch einfach nur der Algorithmus und die Eingabe. Aber was genau ist dann $f'$? Ich sehe ein, dass bei einem Algorithmus etwas ungenaues rauskommen kann, aber das "verändert" doch $f$ nicht zu $f'$.
Hoffe mir kann da jemand helfen.
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Di 11.03.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ein Algorithmus [mm]f'[/mm] heißt numerisch stabil, wenn er falls
> alle zulässigen und in der Größenordnung der
> Maschinengenauigkeit gestörten Eingabedaten akzeptable
> Resultate liefert, d.h.
>
> [mm]|f(x')-f'(x)| \le C *eps[/mm] bzw. [mm]\frac{|f(x')-f'(x)|}{|f(x)|} \le C * eps[/mm]
>
> Hallo Leute,
>
> habe mal eine Frage dazu. Und zwar habe ich in Wikipedia
> gelesen, dass [mm]x'[/mm] die gestörte Eingabevariable ist, aber
> kann mir nicht vorstellen, was genau das heißen soll.
$x'$ ist wie du schreibst die gestörte Eingabevariable.
Es kann verschiedene Gründe haben, warum für den Algorithmus nicht die
theoretische, exakte Eingabevariable verwendet wird:
Maschienengenauigkeit hast du schon angesprochen, $x'$ könnte aus
einer vorangeganenen Berechnung (Näherungsverfahren) stammen, etc.
Theoretisch betrachtet man: $|x-x'| < [mm] \delta$, $\delta [/mm] > 0$.
> [mm]f[/mm]
> und [mm]x[/mm] sind doch einfach nur der Algorithmus und die
> Eingabe. Aber was genau ist dann [mm]f'[/mm]? Ich sehe ein, dass bei
> einem Algorithmus etwas ungenaues rauskommen kann, aber das
> "verändert" doch [mm]f[/mm] nicht zu [mm]f'[/mm].
Nein, f ist das exakte Verfahren ( z.B. exakte Lösung einer
Differentialgleichung, exakter Wert einer Integration, Nullstelle, falls sie
sich exakt bestimmen lässt) und f' ein Algorithmus (ein
Näherungsverfahren) z.B. Numerisches Verfahren zur Lösung von
Differentialgleichungen, Quadraturverfahren, Numerisches Verfahren zur Nullstellensuche.
$f'$ ist eine etwas unglückliche Bezeichnung, da man ab und zu auch die
Ableitung braucht.
[mm]|f(x')-f'(x')| \le C *eps[/mm] bzw. [mm]\frac{|f(x')-f'(x')|}{|f(x')|} \le C * eps[/mm]
>
>
> Hoffe mir kann da jemand helfen.
>
> Danke schonmal!
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mo 17.03.2014 | | Autor: | AntonK |
Danke für deine Antwort!
Das heißt doch aber, dass ich ebenso auch x für x' benutzen könnte oder? Also eine nichtgestörte Eingabe oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:03 Di 18.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Das heißt doch aber, dass ich ebenso auch x für x'
> benutzen könnte oder? Also eine nichtgestörte Eingabe
> oder?
Ich bin nicht sicher ob ich die Frage richtig verstanden habe,
aber das würde nichts bringen. Du willst doch gerade heraus-
finden ob dein Algorithmus stabil ist. Vielleicht an einem
Beispiel. Unterziehe folgendem Ausdruck für [mm] x\not=0 [/mm] eine Fehler-
analyse:
[mm] \frac{(1-x)-1}{x}.
[/mm]
Hattet ihr sowas? Am Ende folgt (hier), dass der Ausdruck
für große $x$ gut ist bzw. für kleine $x$ schlecht. Was
gilt allerdings für den äquivalenten Ausruck $-1$ ?
Gruß
DieAcht
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Kondition des Problems