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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:44 Do 05.02.2009 | | Autor: | faiko |
| Aufgabe | Das Integral
[mm] I:=\integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{1}{e^{x}+1}
[/mm]
soll numerisch aproximiert werden.
Bestimmen Sie I näherungsweise mit der summierten Trapezregel mit der Schrittweite [mm] h:=\bruch{1}{2} [/mm] und schätzen Sie den Fehler ab. |
Ich stecke gerade in der Klausurvorbereitung zu Numerik und komme so eigentlich sehr gut voran. Das einzige was mir wirklich zu schaffen macht ist das Thema der Numerischen Integration.
Ich hab zu obiger Aufgabe eine kurze prägnante Lösung vorliegen, doch irgendwie hab ich ein Brett vorm Kopf und kann diese nicht lösen.
Also die Lösung:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(x) dx}+\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
Für mich in sich logisch. Aber warum teile ich das Integral in "nur" zwei Teilintegrale? Hängt die Grenze 1/2 mit der Schrittweite zusammen?
nächster Schritt:
[mm] I_m(t)=h\summe c_jf(a+\bruch{j}{m}h)
[/mm]
=>
[mm] I_1(t)=\bruch{1}{2}\bruch{1}{2}f(0+\bruch{0}{1}\bruch{1}{2})+\bruch{1}{2}\bruch{1}{2}f(0+\bruch{1}{2}\bruch{1}{2})+\bruch{1}{2}\bruch{1}{2}f(\bruch{1}{2}+\bruch{0}{1}\bruch{1}{2})+\bruch{1}{2}\bruch{1}{2}f(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\bruch{1}{2})
[/mm]
an sich also einfach nur die Formel eingesetzt.
Aber was ist denn genau das [mm] c_j?
[/mm]
in der lösung stehen keine Grenzen über Summenformel aber eigentlich summiere ich ja über j. aber bis m, oder?
[mm] \summe_{j=1}^{m}
[/mm]
irgendwie blick ich nicht durch... ich denke, das is eigentlich nicht allzu schwer.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Do 05.02.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Du bist auf einem sehr guten Wege. Ich erkläre Dir nun die fehlenden Details.
> Das Integral
> [mm]I:=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] mit
> [mm]f(x)=\bruch{1}{e^{x}+1}[/mm]
> soll numerisch aproximiert werden.
Für die summierte (oder: zusammengesetzte) Sehnentrapezformel werde ich mich bei meiner Erklärung an folgendem Artikel halten (siehe: Abschnitt "Zusammengesetzte Sehnentrapezformel")
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Trapezregel
> Bestimmen Sie I näherungsweise mit der summierten
> Trapezregel mit der Schrittweite [mm]h:=\bruch{1}{2}[/mm] und
> schätzen Sie den Fehler ab.
Betrachte deine Funktion [mm] $f(x)=\frac{1}{e^x+1}$. [/mm] Ziel ist es, das Integral über dem Intervall $[0,1]$ numerisch zu berechnen. Dazu zerlegen wir zunächst dieses Intervall mithilfe der Schrittweite $h$. Da wir die Schrittweite [mm] $h=\frac{1}{2}$ [/mm] haben, muss das Intervall derart zerlegt werden, dass jedes Teilintervall die Länge [mm] $h=\frac{1}{2}$ [/mm] besitzt. Wir erhalten also die Zerlegung:
[mm] $[0,1]\,=\,[0,\frac{1}{2}]\cup [\frac{1}{2},1]$
[/mm]
Um dir den Vorgang bildlich vor Augen zu halten, solltest Du Dir das Bild der obigen Wikipedia-Seite ansehen. Anstatt das Integral (also die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse) auf dem Intervall $[0,1]$ zu numerisch zu berechnen, erzeugen wir in jedem der Teilintervalle [mm] $[0,\frac{1}{2}]$ [/mm] und [mm] $[\frac{1}{2},1]$ [/mm] ein Trapez, berechnen die jeweiligen Flächen und addieren sie auf (daher der Name Trapezsumme). Zeichne Dir einmal Deine Funktion, um die Arbeitsweise nachvollziehen zu können.
> Ich stecke gerade in der Klausurvorbereitung zu Numerik
> und komme so eigentlich sehr gut voran. Das einzige was mir
> wirklich zu schaffen macht ist das Thema der Numerischen
> Integration.
>
> Ich hab zu obiger Aufgabe eine kurze prägnante Lösung
> vorliegen, doch irgendwie hab ich ein Brett vorm Kopf und
> kann diese nicht lösen.
Packen wir's an
> Also die Lösung:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}=\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(x) dx}+\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> Für mich in sich logisch. Aber warum teile ich das Integral
> in "nur" zwei Teilintegrale? Hängt die Grenze 1/2 mit der
> Schrittweite zusammen?
Ja. Die zwei Teilintervalle [mm] $[0,\frac{1}{2}]$ [/mm] und [mm] $[\frac{1}{2},1]$ [/mm] erhältst Du durch die Schrittweite $h$. Diese verlangt gerade, dass die Teilintervalle die Länge [mm] $h=\frac{1}{2}$ [/mm] besitzen müssen.
> nächster Schritt:
> [mm]I_m(t)=h\summe c_jf(a+\bruch{j}{m}h)[/mm]
>
> =>
>
> [mm]I_1(t)=\bruch{1}{2}\bruch{1}{2}f(0+\bruch{0}{1}\bruch{1}{2})+\bruch{1}{2}\bruch{1}{2}f(0+\bruch{1}{2}\bruch{1}{2})+\bruch{1}{2}\bruch{1}{2}f(\bruch{1}{2}+\bruch{0}{1}\bruch{1}{2})+\bruch{1}{2}\bruch{1}{2}f(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\bruch{1}{2})[/mm]
>
> an sich also einfach nur die Formel eingesetzt.
Zur Berechnung kommen wir gleich!
> Aber was ist denn genau das [mm]c_j?[/mm]
Die [mm] $c_j$ [/mm] sind sogenannte "Gewichte" zum Knoten [mm] $x_j$. [/mm] Die Knoten sind in deinem Fall (wegen [mm] $h=\frac{1}{2}$) $x_0=0$, $x_1=\frac{1}{2}$, $x_2=1$, [/mm] d.h. Du hast 3 Knoten. Die Gewichte sind bei der zusammengesetzten Trapezformel in den Randknoten [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] und in den inneren Knoten $1$, d.h. bei Dir [mm] $c_0=\frac{1}{2}$, $c_1=1$, $c_2=\frac{1}{2}$. [/mm] Zur Erinnerung: Es wird über $j$ summiert und zwar von $j=0$ bis $m$ (bei Dir (wegen [mm] $h=\frac{1}{2}$) [/mm] also bis $2$).
Allgemein kannst Du Dir unter [mm] $c:[0,1]\longrightarrow\IR$ [/mm] eine Gewichtsfunktion vorstellen, d.h. eine positive (d.h. [mm] $c(x)\geqslant [/mm] 0$ [mm] $\forall\,x\in[0,1]$) [/mm] und über dem Intervall $[0,1]$ integrierbare Funktion mit
[mm] $\int_{0}^{1}c(x)\,dx<\infty$
[/mm]
Deine [mm] $c_j$ [/mm] sind dann gegben durch [mm] $c_j:=c(x_j)$, [/mm] wobei [mm] $x_j$ [/mm] wieder Deine Knoten sind. Dies wird im bereich der Quadraturformeln vertieft. Im Falle der Trapezregel kennst Du aber die Gewichte und erhälst Du die allgemeine Formel:
[mm] $T_m[f]=h\left(\frac{1}{2}f(x_0)+\sum_{i=1}^{m-1}f(x_i)+\frac{1}{2}f(x_m)\right)$
[/mm]
In Deiner Aufgabe erhälst Du also mit $m=2$, [mm] $x_0=0$, $x_1=\frac{1}{2}$, $x_2=1$, $f(x)=\frac{1}{e^x+1}$:
[/mm]
[mm] $T_m[f]$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}f(0)+f(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}f(1)\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{e+1}\right)$
[/mm]
> in der lösung stehen keine Grenzen über Summenformel aber
> eigentlich summiere ich ja über j. aber bis m, oder?
> [mm]\summe_{j=1}^{m}[/mm]
Richtig, Du summierst über $j$. ABER: Du summierst von $j=0$ bis $m$, also
[mm] $\sum_{j=0}^{m}(...)$
[/mm]
> irgendwie blick ich nicht durch... ich denke, das is
> eigentlich nicht allzu schwer.
>
------> Frage an Dich: Was ist nun mit dem Fehler?
Gruß
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 05.02.2009 | | Autor: | faiko |
oh man, jetzt wird mir einiges klar in meinen Aufzeichnungen. Und zwar wird das ganze Thema mit den Newton-Cotes Formeln eingeführt und da drunter wird dann ne Tabelle aufgeführt mit den einzelnen Verfahren. Diese Tabelle habe ich 1:1 auch so auf wikipedia gefunden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Cotes-Formeln
Mittelpunkts-, Trapez- und Simpsonregel sind also alles zusammen Newton-Cotes Formeln richtig?
Doch nun noch einmal zurück zu dem Beispiel:
Du hast das wirklich sehr ausführlich erklärt und dafür danke ich dir schon einmal.
Ich darf in die Klausur nichts mitnehmen und deswegen will ich mir eigentlich nur die Newton-Cotes-Form merken, die da wäre (wenn ich es richtig verstanden habe):
[mm] I_m(t)=h\summe c_jf(a+\bruch{j}{m}h)
[/mm]
Diese Formel muss ich doch jetzt für beide Teilintegrale anwenden. Und dann läuft mein m von 0 bis 1 (sonst hätt ich ja 6 Summanden an Stelle von 4).
Außerdem scheint bei "uns" das m irgendwie die angewandte Regel wiederzuspiegeln, d.h. 0:=Mittelpunktsregel, 1:=Trapez, 2:=Simpson
ich betrachte also die äquidistanten Stützstellen [mm] x_0=0, x_1=0.5 [/mm] und [mm] x_2=1.
[/mm]
du schreibst jetzt zu den Gewichten:
[mm] $c_0=\frac{1}{2} [/mm] $, $ [mm] c_1=1 [/mm] $, $ [mm] c_2=\frac{1}{2} [/mm] $.
sind die immer so beim summierter Trapezregel? Gibt es nicht irgendwie eine Formel, die mir die Gewichte für jedes Verfahren angibt?
Na ja... den mathematischen Hintergrund habe ich jetzt hoffentlich einigermaßen verstanden nur komme ich irgendwie mit den verschiedenen Notationen durcheinander.
wenn ich jetzt alles in die Newton-Cotes- Formel einsetze komme ich nicht auf die Form die ich im ersten Post ausführlich hingeschrieben habe...
Irgendwie passt das alles noch nicht zu 100%... Wäre über eine erneute Antwort sehr froh.
Zum erwarteten Fehler kann ich soviel sagen:
einfache Trapezregel: [mm] \bruch{1}{12}h^3f''
[/mm]
summiert müsste jetzt laut Lösung folgendes rauskommen:
[mm] 2\bruch{1}{12}h^3f''
[/mm]
das kann ich mir jetzt nur so erklären, dass ich hier ja zwei Teilintegrale abschätze die selbe Intervallgröße haben, also [mm] \bruch{1}{2}-0=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2} [/mm] und deswegen nehme ich den Wert der einfachen Trapezregel zweimal...
is das eine richtige Argumentation?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo nochmal,
ich habe leider nicht allzu viel Zeit, aber ich versuche es nochmal anders zu erklären:
> oh man, jetzt wird mir einiges klar in meinen
> Aufzeichnungen. Und zwar wird das ganze Thema mit den
> Newton-Cotes Formeln eingeführt und da drunter wird dann ne
> Tabelle aufgeführt mit den einzelnen Verfahren. Diese
> Tabelle habe ich 1:1 auch so auf wikipedia gefunden:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Cotes-Formeln
Richtig.
> Mittelpunkts-, Trapez- und Simpsonregel sind also alles
> zusammen Newton-Cotes Formeln richtig?
Ja genau, zumindest spezielle Newton-Cotes-Formeln.
> Doch nun noch einmal zurück zu dem Beispiel:
> Du hast das wirklich sehr ausführlich erklärt und dafür
> danke ich dir schon einmal.
Bitte, was bringt es mir, wenn ich mich kurz fasse und Du etliche Male irgendetwas nachfragen musst 
> Ich darf in die Klausur nichts mitnehmen und deswegen will
> ich mir eigentlich nur die Newton-Cotes-Form merken, die da
> wäre (wenn ich es richtig verstanden habe):
> [mm]I_m(t)=h\summe c_jf(a+\bruch{j}{m}h)[/mm]
Irgendwie weiß ich nicht genau wie die Grenzen dort verlaufen. Für die Klausur merke Dir doch einfach die Formel von der Wikipedia Seite:
[mm] $\int_{a}^{b}f(x)dx\equiv (b-a)\sum_{i=0}^{n}w_i f(x_i)$
[/mm]
Diese Formel musst Du dann auf jedes Deiner unterteilten Intervalle anwenden (!!!). D.h. bei Deiner Aufgabe hast Du sowohl [mm] $[a,b]=[0,\frac{1}{2}]$ [/mm] (dann ist [mm] $(a-b)=\frac{1}{2}=h$) [/mm] als auch [mm] $[a,b]=[\frac{1}{2},1]$ [/mm] (dann ist [mm] $(a-b)=\frac{1}{2}=h$). [/mm] $n$ wäre in diesem Falle 1, [mm] $w_0=w_1=\frac{1}{2}$. [/mm] Damit haben wir die Trapezformel auf jedes Intervall angewendet. Die zusammengesetzte Trapezformel macht diese zwei Schritte in einem.
> Diese Formel muss ich doch jetzt für beide Teilintegrale
> anwenden.
Ich denke schon.
> Und dann läuft mein m von 0 bis 1 (sonst hätt ich
> ja 6 Summanden an Stelle von 4).
Wenn das $m$ bei 0 starten würde, dann hättest Du ein Problem im Argument von $f$, denn dort stünde [mm] $\frac{j}{0}$.
[/mm]
> Außerdem scheint bei "uns" das m irgendwie die angewandte
> Regel wiederzuspiegeln, d.h. 0:=Mittelpunktsregel,
> 1:=Trapez, 2:=Simpson
$m=0$? Dabei ist doch nichts definiert.
> ich betrachte also die äquidistanten Stützstellen [mm]x_0=0, x_1=0.5[/mm]
> und [mm]x_2=1.[/mm]
>
> du schreibst jetzt zu den Gewichten:
> [mm]c_0=\frac{1}{2} [/mm], [mm]c_1=1 [/mm], [mm]c_2=\frac{1}{2} [/mm].
> sind die
> immer so beim summierter Trapezregel?
Ja. Noch allgemeiner sind sie für die summierte Trapezregel [mm] $c_0=\frac{1}{2}$, $c_i=1$ $\forall\,i=1,\ldots,n-1$, $c_n=\frac{1}{2}$. [/mm] Dass das gilt, kannst Du Dir leicht an Deinem Beispiel vorstellen. Berechne jede der zwei Flächen einmal mit der Sehnentrapezformel und addiere die Ergebnisse zusammen. Du erhälst nach dem summieren:
[mm] $\ldots=\left(\frac{1}{2}\right)^2f(0)+2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2f\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2f(1)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\cdot\sum_{i=0}^{2}c_if(x_i)$
[/mm]
> Gibt es nicht
> irgendwie eine Formel, die mir die Gewichte für jedes
> Verfahren angibt?
Die wichtigsten Gewichte findest Du bei Wikipedia oder in Büchern. Die Gewichte werden über die Lagrange-Polynome berechnet.
> Na ja... den mathematischen Hintergrund habe ich jetzt
> hoffentlich einigermaßen verstanden nur komme ich irgendwie
> mit den verschiedenen Notationen durcheinander.
> wenn ich jetzt alles in die Newton-Cotes- Formel einsetze
> komme ich nicht auf die Form die ich im ersten Post
> ausführlich hingeschrieben habe...
> Irgendwie passt das alles noch nicht zu 100%... Wäre über
> eine erneute Antwort sehr froh.
>
>
> Zum erwarteten Fehler kann ich soviel sagen:
> einfache Trapezregel: [mm]\bruch{1}{12}h^3f''[/mm]
> summiert müsste jetzt laut Lösung folgendes rauskommen:
> [mm]2\bruch{1}{12}h^3f''[/mm]
> das kann ich mir jetzt nur so erklären, dass ich hier ja
> zwei Teilintegrale abschätze die selbe Intervallgröße
> haben, also [mm]\bruch{1}{2}-0=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm] und
> deswegen nehme ich den Wert der einfachen Trapezregel
> zweimal...
>
> is das eine richtige Argumentation?
>
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