O-Notation gebr. rat. Funktion < Komplex. & Berechnb. < Theoretische Inform. < Hochschule < Informatik < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 28.12.2010 | | Autor: | schubi |
| Aufgabe | Suche für die folgenden Funktionen jeweils geeignete Konstanten c (bzw. [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2}) [/mm] und [mm] n_{0} [/mm] und zeige mit Hilfe dieser Konstanten, dass die jeweilige Funktion in der angegebenen Klasse liegt.
[mm] f_{1}(n) [/mm] = [mm] \bruch{n^{14}}{4^{n}} \in [/mm] O(1) |
Hallo,
meine Frage ist eigentlich bereits durch die Fragestellung oben abgedeckt. Wie kann man nun diese Funktion so abschätzen, dass man c und [mm] n_{0} [/mm] erhält.
Ich meine für so normale Funktionen ist so eine abschätzung ja nicht schwer... hier tue ich mich aber ein wenig schwer, weil diese Funktion ja gebrochen rational ist...
habe mir die Funktion mal plotten lassen:
http://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=FSER4d1a04adb49e76.40170313
Ab einer gewissen Größe sinkt der Wert ja wieder in den Bereich zwischen 0 und 1, ist ja auch logisch, da die Exponentialfunktion (im Nenner) ja immer irgendwann schneller wächst als eine Potenzfunktion (wenn die Basis der Exponentialfunktion größer als 1 ist).
Nur, wie bekomme ich denn jetzt rein Abschätzungsmäßig die Werte für c und [mm] n_{0} [/mm] heraus? Kann ja nicht einfach den Hochpunkt berechnen und sagen, dass das mein c ist oder einfach den Schnittpunkt von [mm] f_{1}(n) [/mm] = [mm] \bruch{n^{14}}{4^{n}} [/mm] und 1 berechnen und damit dann angeben, dass dies mein [mm] n_{0} [/mm] sein soll ... das ist ja nicht Sinn der Abschätzung.
Die nächste Aufgabe wäre:
[mm] f_{2}(n) [/mm] = [mm] 2n^{2}+3n+1 \in O(n^{3})
[/mm]
Die ist ja im Vergleich zur ersten relativ simpel abzuschätzen zu:
[mm] f_{2}(n) [/mm] = [mm] 2n^{2}+3n+1 \in O(n^{3})<=...<=6n^{3} [/mm] mit [mm] n_{0}=1 [/mm] und n>= [mm] n_{0}
[/mm]
nur irgendwie kann ich dieses schema nicht auf die erste Aufgabe übertragen ...
Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen, vielen Dank im vorraus
LG
Schubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Di 28.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Schubi!
> Suche für die folgenden Funktionen jeweils geeignete
> Konstanten c (bzw. [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2})[/mm] und [mm]n_{0}[/mm] und zeige
> mit Hilfe dieser Konstanten, dass die jeweilige Funktion in
> der angegebenen Klasse liegt.
>
> [mm]f_{1}(n)[/mm] = [mm]\bruch{n^{14}}{4^{n}} \in[/mm] O(1)
> Hallo,
>
> meine Frage ist eigentlich bereits durch die Fragestellung
> oben abgedeckt. Wie kann man nun diese Funktion so
> abschätzen, dass man c und [mm]n_{0}[/mm] erhält.
>
> Ich meine für so normale Funktionen ist so eine
> abschätzung ja nicht schwer... hier tue ich mich aber ein
> wenig schwer, weil diese Funktion ja gebrochen rational
> ist...
>
> habe mir die Funktion mal plotten lassen:
>
> http://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=FSER4d1a04adb49e76.40170313
>
> Ab einer gewissen Größe sinkt der Wert ja wieder in den
> Bereich zwischen 0 und 1, ist ja auch logisch, da die
> Exponentialfunktion (im Nenner) ja immer irgendwann
> schneller wächst als eine Potenzfunktion (wenn die Basis
> der Exponentialfunktion größer als 1 ist).
Genau. Es ist ja auch [mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{n^{14}}{4^n} [/mm] = 0$, wie man mit L'Hopital sehen kann.
> Nur, wie bekomme ich denn jetzt rein Abschätzungsmäßig
> die Werte für c und [mm]n_{0}[/mm] heraus? Kann ja nicht einfach
> den Hochpunkt berechnen und sagen, dass das mein c ist oder
> einfach den Schnittpunkt von [mm]f_{1}(n)[/mm] =
> [mm]\bruch{n^{14}}{4^{n}}[/mm] und 1 berechnen und damit dann
> angeben, dass dies mein [mm]n_{0}[/mm] sein soll ... das ist ja
> nicht Sinn der Abschätzung.
Eine Funktionenuntersuchung ist schon ok. Also wenn du zeigen kannst, dass [mm] $f_1$, [/mm] als Funktion [mm] $\IR_{\ge 0} \to \IR$ [/mm] aufgefasst, ein globales Maximum hat, und dieses nach oben abschaetzen kannst, dann kannst du das als Konstante nehmen.
Weisst du etwa, dass das Maximum fuer $n [mm] \le [/mm] X$ erreicht ist, kannst du $c = [mm] X^{14}$ [/mm] nehmen und [mm] $n_0 [/mm] = 1$.
Oder du schaust, wann [mm] $f_1$ [/mm] kleiner als 1 ist, und nimmst dies als [mm] $n_0$ [/mm] und setzt $c = 1$. (Das ist bei [mm] $n_0 [/mm] = 37$ der Fall.)
Du kannst dir das [mm] $n_0$ [/mm] auch irgendwo aus den Sternen ziehen und dann die Behauptung per vollstaendiger Induktion zeigen.
> Die nächste Aufgabe wäre:
>
> [mm]f_{2}(n)[/mm] = [mm]2n^{2}+3n+1 \in O(n^{3})[/mm]
>
> Die ist ja im Vergleich zur ersten relativ simpel
> abzuschätzen zu:
>
> [mm]f_{2}(n)[/mm] = [mm]2n^{2}+3n+1 \in O(n^{3})<=...<=6n^{3}[/mm] mit
> [mm]n_{0}=1[/mm] und n>= [mm]n_{0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> nur irgendwie kann ich dieses schema nicht auf die erste
> Aufgabe übertragen ...
Das Schema funktioniert ja auch nicht ueberall. Bei Polynomen funktioniert es super, aber bei allg. Funktionen eben nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 28.12.2010 | | Autor: | schubi |
Erstmal vielen Dank für deine ausführliche Erklärungen :)
Dennoch bleiben bei mir einige Fragen ...
Je nach gewählter Methode wüsste ich nicht, wie ICH diese (ohne grafischen taschenrechner) ausführen sollte.
Für das globale Maximum müsste ich die erste sowie zweite Ableitung bilden. Dies ist in Hinsicht auf z.B. Klausuren recht langwierig bei einer solchen Funktion die Ableitungen zu bilden, beziehungsweise dann auch noch die erste Ableitung gleich null zu setzen und nach der Variablen umzuformen ... ich wieß nicht ob ich das in endlicher zeit schaffen würde ;)
die funktion gleichzusetzen, also:
[mm] f(x)=\bruch{n^{14}}{4^{n}}=1
[/mm]
schweitert bei mir daran, dass ich bei:
[mm] \bruch{log(4)}{14} [/mm] = [mm] \bruch{log(n)}{n}
[/mm]
nicht weiterkomme.
Das mit dem aus den Sternen greifen und per vollständiger Induktion nachzuweisen gefällt mir vom Ansatz her am besten, komme dennoch, wie bereits aus vorangegangenem schweitern durch vollständige Induktion zu schließen ;), nicht weiter:
[mm] n_{0}=40
[/mm]
IA: [mm] \bruch{40^{14}}{4^{40}} [/mm] = 0,0222...<=1
IV: [mm] f(x)=\bruch{n^{14}}{4^{n}}<=1
[/mm]
[mm] IS:f(x)=\bruch{(n+1)^{14}}{4^{(n+1)}}...
[/mm]
den IS wollte ich jetzt soweit führen, dass ich zum schluss eine gleichung der form
[mm] \bruch{n^{14}}{4^{n}}*X [/mm] habe, wobei das X<=1 ist, sodass für jeden weiteren Schritt dann die Werte ja kleiner werden. Leider haperts dann am umformen. Es schien mir etwas aufwendig dies alles über den binomischen Lehrsatz umzuformen, oder ist dies die einige Möglichkeit??
Ich stecke in einer Sackgasse...ich hoffe, dass du mir eventuell dort raushelfen kannst!
Vielen dank!
Grüße
Schubi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Di 28.12.2010 | | Autor: | schubi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die IV gilt natürlich ab n_{0]=40.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Di 28.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dennoch bleiben bei mir einige Fragen ...
>
> Je nach gewählter Methode wüsste ich nicht, wie ICH diese
> (ohne grafischen taschenrechner) ausführen sollte.
>
> Für das globale Maximum müsste ich die erste sowie zweite
> Ableitung bilden. Dies ist in Hinsicht auf z.B. Klausuren
> recht langwierig bei einer solchen Funktion die Ableitungen
> zu bilden, beziehungsweise dann auch noch die erste
> Ableitung gleich null zu setzen und nach der Variablen
> umzuformen ... ich wieß nicht ob ich das in endlicher zeit
> schaffen würde ;)
So schwer ist es auch wieder nicht, das abzuleiten 
Ausserdem: musst du denn wirklich $c$ und [mm] $n_0$ [/mm] explizit angeben? Wenn nicht, ist das ganze doch viiiiiiiiiiiiel einfacher. Du musst dann einfach [mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{n^{14}}{4^n} [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] zeigen (der Grenzwert ist ja sogar 0), und das folgt schnell mit L'Hopital (einfach 15 mal anwenden  ).
> die funktion gleichzusetzen, also:
> [mm]f(x)=\bruch{n^{14}}{4^{n}}=1[/mm]
> schweitert bei mir daran, dass ich bei:
> [mm]\bruch{log(4)}{14}[/mm] = [mm]\bruch{log(n)}{n}[/mm]
> nicht weiterkomme.
Das kann man auch nicht so einfach ausrechnen. Aber man kann gut eine obere Schranke fuer das $n$ finden.
Also [mm] $\frac{n^{14}}{4^n} \le [/mm] 1$ ist doch aequivalent zu $14 [mm] \log [/mm] n [mm] \le [/mm] n [mm] \log [/mm] 4$, also zu [mm] $\frac{\log n}{n} \le \frac{\log 4}{14}$. [/mm] Jetzt ist [mm] $\frac{\log 4}{14} \ge \frac{1}{14}$.
[/mm]
Weiterhin ist [mm] $\frac{\log n}{n} \le \frac{\sqrt{n}}{n}$ [/mm] fuer $n [mm] \ge [/mm] 4$, da $f(x) := [mm] \log [/mm] x - [mm] \sqrt{x}$ [/mm] ab $x = 4$ monoton fallend ist (da $f'(x) = [mm] \frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{2 \sqrt{x}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \sqrt{x}} (\frac{2}{\sqrt{x}} [/mm] - 1)$ fuer $x > 4$ negativ ist) und da $f(4) = 2 [mm] \log [/mm] 2 - 2 = 2 [mm] (\log [/mm] 2 - 1) < 0$ ist.
Damit gilt fuer $n [mm] \ge [/mm] 4$, dass aus [mm] $\frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{14}$ [/mm] folgt [mm] $\frac{n^{14}}{4^n} \le [/mm] 1$, und [mm] $\frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{14} \Longleftrightarrow 14^2 \le [/mm] n$.
Du kannst also [mm] $n_0 [/mm] = [mm] 14^2$ [/mm] waehlen.
> Das mit dem aus den Sternen greifen und per vollständiger
> Induktion nachzuweisen gefällt mir vom Ansatz her am
> besten, komme dennoch, wie bereits aus vorangegangenem
> schweitern durch vollständige Induktion zu schließen ;),
> nicht weiter:
>
> [mm]n_{0}=40[/mm]
>
> IA: [mm]\bruch{40^{14}}{4^{40}}[/mm] = 0,0222...<=1
> IV: [mm]f(x)=\bruch{n^{14}}{4^{n}}<=1[/mm]
> [mm]IS:f(x)=\bruch{(n+1)^{14}}{4^{(n+1)}}...[/mm]
> den IS wollte ich jetzt soweit führen, dass ich zum
> schluss eine gleichung der form
> [mm]\bruch{n^{14}}{4^{n}}*X[/mm] habe, wobei das X<=1 ist, sodass
> für jeden weiteren Schritt dann die Werte ja kleiner
> werden. Leider haperts dann am umformen. Es schien mir
> etwas aufwendig dies alles über den binomischen Lehrsatz
> umzuformen, oder ist dies die einige Möglichkeit??
Hmm, ganz so einfach ist es wohl doch nicht.
Vielleicht ist es wohl am einfachsten, das aehnlich wie oben zu machen.
Aus [mm] $\log [/mm] n [mm] \le \sqrt{n}$ [/mm] fuer $n [mm] \ge [/mm] 4$ folgt [mm] $\frac{n^{14}}{4^n} [/mm] = [mm] \frac{e^{14 \log n}}{e^{n \log 4}} [/mm] = [mm] e^{14 \log n - n \log 4} \le e^{14 \sqrt{n} - n \log 4} [/mm] = [mm] e^{\sqrt{n} (14 - \sqrt{n})}$ [/mm] (da [mm] $\log [/mm] 4 > 1$). Wenn also $n [mm] \ge 14^2$ [/mm] ist, ist dies [mm] $\le e^0 [/mm] = 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Di 28.12.2010 | | Autor: | schubi |
Vielen Dank!!!
Ich werde mir das morgen nochmal genauer ansehen und eventuell noch nachfragen wenn das okay ist :)
Jetzt bin ich erstmal schlafen :)
Grüße
Schubi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 29.12.2010 | | Autor: | schubi |
Habs noch nciht so ganz geblickt, werde aber alles nochmal durchgehen :)
Eine Frage habeich jedoch ...
Du gehst an 2 Stellen davon aus, das log(4) > 1 ist, dass ist doch aber garnicht der Fall!!
Jetzt ist
> [mm]\frac{\log 4}{14} \ge \frac{1}{14}[/mm].
>
>
> Aus [mm]\log n \le \sqrt{n}[/mm] fuer [mm]n \ge 4[/mm] folgt
>[...]
> (da [mm]\log 4 > 1[/mm]). [mm]\le e^0 = 1[/mm].
> [...]
oder täusche ich mich da jetzt?
LG
Schubi
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> Habs noch nciht so ganz geblickt, werde aber alles nochmal
> durchgehen :)
>
> Eine Frage habeich jedoch ...
>
> Du gehst an 2 Stellen davon aus, das log(4) > 1 ist, dass
> ist doch aber garnicht der Fall!!
hier wird der ln gemeint sein!
>
> Jetzt ist
> > [mm]\frac{\log 4}{14} \ge \frac{1}{14}[/mm].
> >
>
> >
> > Aus [mm]\log n \le \sqrt{n}[/mm] fuer [mm]n \ge 4[/mm] folgt
> >[...]
> > (da [mm]\log 4 > 1[/mm]). [mm]\le e^0 = 1[/mm].
> > [...]
>
> oder täusche ich mich da jetzt?
>
> LG
>
> Schubi
>
gruß tee
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 29.12.2010 | | Autor: | schubi |
Also :)
Ich habe die Aufgabe jetzt folgendermaßen gelöst:
f(n) = [mm] \bruch{n^{14}}{4^{n}}
[/mm]
f'(n) = [mm] \bruch{14*n^{13}*4^{n}-n^{14}*ln(4)*4^{n}}{4^{2n}}
[/mm]
f'(n) = 0 für die Extremstelle
f'(n)=0, wenn der Zähler 0 ist. Dies ist bei n=0 der Fall, oder:
[mm] 14*n^{13}*4^{n}-n^{14}*ln(4)*4^{n} [/mm] = 0
...
n = [mm] \bruch{14}{ln(4)}
[/mm]
Die zweite Ableitung habe ich zwar gemacht, und es kam leider was positives heraus, wasbedeutet, dass ich mich verrechnet habe...deswegen habe ich mir folgendes gedacht:
Für
n = [mm] \bruch{14}{ln(4)}
[/mm]
ist f(n) positiv.
Nun kann dies aber kein Minimum sein, da es keine weiteren Extrempunkte gibt und nach L'Hopital folgendes gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^{14})'}{(4^{n})'} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^{14})}{(4^{n})}
[/mm]
... 14 mal L'Hopital:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{14!}{ln(4)^{14} 4^{n}} \Rightarrow [/mm] 0
Das bedeutet nun also, dass die Stelle ein Maximum sein muss, da, wie schon gesagt, keine weiteren Extremstellen auftauchen, die Extremstelle positiv ist und die Funktion gegen 0 konvergiert, also abfallend ist.
Also kann ich sagen, dass ich C = [mm] f(\bruch{14}{ln(4)}), [/mm] also C=95431853,51 ist, mit [mm] n_{0}=1
[/mm]
Jetzt noch eine Frage zu deiner Lösung ... und zwar verstehe ich ganz allgemein noch nicht, wieso man sich nicht auf einen bestimmten log festlegt. Ich meine manche log(4) sind >1 und manche nicht ... kann man sich das nach belieben aussuchen dann?
In der letzten Rechnung steht bei dir folgendes:
> $ [mm] \frac{n^{14}}{4^n} [/mm] = [mm] \frac{e^{14 \log n}}{e^{n \log 4}} [/mm] = [mm] e^{14 \log n - n \log 4} \le e^{14 \sqrt{n} - n \log 4} [/mm] = [mm] e^{\sqrt{n} (14 - \sqrt{n})} [/mm] $
Wieso steht dort vom vorletzten Schritt auf den letzten Schritt ein Gleichheitszeichen?
Wenn das log(4) > 1 ist, dann wird der gesamte Term durch das weglassen von log(4) größer als mit dem log(4). Also müsste dort, weil dann im nächsten Schritt ja das log(4) weggelassen wird, ein < stehen oder nicht?
:)
Grüße
Schubi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 30.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Schubi!
> Ich habe die Aufgabe jetzt folgendermaßen gelöst:
>
> f(n) = [mm]\bruch{n^{14}}{4^{n}}[/mm]
> f'(n) =
> [mm]\bruch{14*n^{13}*4^{n}-n^{14}*ln(4)*4^{n}}{4^{2n}}[/mm]
> f'(n) = 0 für die Extremstelle
>
> f'(n)=0, wenn der Zähler 0 ist. Dies ist bei n=0 der Fall,
> oder:
>
> [mm]14*n^{13}*4^{n}-n^{14}*ln(4)*4^{n}[/mm] = 0
> ...
> n = [mm]\bruch{14}{ln(4)}[/mm]
Du kannst auch $n = [mm] \frac{7}{\log 2}$ [/mm] schreiben, indem du [mm] $\log [/mm] 4 = 2 [mm] \log [/mm] 2$ ausnutzt; das macht die Zahlen ein klein wenig kleiner
> Die zweite Ableitung habe ich zwar gemacht, und es kam
> leider was positives heraus, wasbedeutet, dass ich mich
> verrechnet habe...deswegen habe ich mir folgendes gedacht:
Laut Maple ist der Zaehler gleich $2 [mm] x^{12} [/mm] (91 - 28 x [mm] \log [/mm] 2 + 2 [mm] x^2 \log^2 [/mm] 2)$, und der Nenner gleich [mm] $4^x$. [/mm] Da macht das Nachpruefen schon nicht mehr so viel Spass...
> Für
> n = [mm]\bruch{14}{ln(4)}[/mm]
> ist f(n) positiv.
> Nun kann dies aber kein Minimum sein, da es keine weiteren
> Extrempunkte gibt und nach L'Hopital folgendes gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^{14})'}{(4^{n})'} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^{14})}{(4^{n})}[/mm]
>
> ... 14 mal L'Hopital:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{14!}{ln(4)^{14} 4^{n}} \Rightarrow[/mm]
> 0
> Das bedeutet nun also, dass die Stelle ein Maximum sein
> muss, da, wie schon gesagt, keine weiteren Extremstellen
> auftauchen, die Extremstelle positiv ist und die Funktion
> gegen 0 konvergiert, also abfallend ist.
Es kann hoechstens noch sein, dass die Funktion in $n = [mm] \frac{7}{\log 2}$ [/mm] keine Extremstelle hat, sondern eine Sattelstelle. Das kannst du aber ausraeumen, indem du [mm] $n_0 [/mm] = [mm] \frac{7}{\log 2}$ [/mm] nimmst, oder indem du dir die Werte davor anschaust; du musst nur etwa $f(1)$ und $f(2)$ konkret ausrechnen.
> Also kann ich sagen, dass ich C = [mm]f(\bruch{14}{ln(4)}),[/mm]
> also C=95431853,51 ist, mit [mm]n_{0}=1[/mm]
Du solltest eher $C [mm] \approx [/mm] 95431853.51$ schreiben
> Jetzt noch eine Frage zu deiner Lösung ... und zwar
> verstehe ich ganz allgemein noch nicht, wieso man sich
> nicht auf einen bestimmten log festlegt. Ich meine manche
> log(4) sind >1 und manche nicht ... kann man sich das nach
> belieben aussuchen dann?
Ich hab den Logarithmus genommen, der die Umkehrfunktion von [mm] $\exp$ [/mm] ist. Und den musst du auch nehmen, damit die Ableitung von [mm] $4^n$ [/mm] gleich [mm] $4^n \cdot \log [/mm] 4$ ist.
> In der letzten Rechnung steht bei dir folgendes:
>
>
> > [mm]\frac{n^{14}}{4^n} = \frac{e^{14 \log n}}{e^{n \log 4}} = e^{14 \log n - n \log 4} \le e^{14 \sqrt{n} - n \log 4} = e^{\sqrt{n} (14 - \sqrt{n})}[/mm]
>
> Wieso steht dort vom vorletzten Schritt auf den letzten
> Schritt ein Gleichheitszeichen?
Das ist wohl ein Tippfehler... Ich hatte da erst noch ein [mm] $\log [/mm] 4$ mit dabeistehen, und hab mir dann gedacht "das kann man auch einfach abschaetzen, dann steht da kein Logarithmus mehr", hab aber das Gleichheitszeichen nicht mehr in ein Kleinergleich geaendert...
> Wenn das log(4) > 1 ist, dann wird der gesamte Term durch
> das weglassen von log(4) größer als mit dem log(4). Also
> müsste dort, weil dann im nächsten Schritt ja das log(4)
> weggelassen wird, ein < stehen oder nicht?
Oder einfach [mm] $\le$... [/mm] Mathematikerregel #412: warum $<$ schreiben, wenn [mm] $\le$ [/mm] reicht und man keine Lust hat die Ungleichung zu begruenden
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 So 02.01.2011 | | Autor: | schubi |
Okay, werde jetzt das was ich dort geschrieben habe mit deiner Ergänzung der Sattelstelle übernehmen :)
Vielen Dank für deine Hilfe!! Hätt ich glaub ich allein nicht so geschafft ... ;)
Viele Grüße
Schubi
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