ONB adjungierter Operator < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V Vektorraum aller reellen Polynome, Grad kleiner 4.
< p, q > = [mm] \integral_{0}^{1}{p(t)*q(t) dt}.
[/mm]
Sei D : V -> V der Differtialoperator.
B := {1, t, [mm] t^{2}, t^{3}, t^{4} [/mm] } eine Basis für V.
berechne die Matrixdarstellung von D*, der adjungierten Abbildung. |
Mein Lösungsweg:
1) ONB beschaffen (Gram Schmidt).
2) Basistransformationsmatrizen berechnen, B->ONB ist einfach, dann ONB->B einfach die Inverse.
3) M(D) bzgl. Basis B berechnen.
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &2 &0\\0&0&0&3\\0&0&0&0 }
[/mm]
4) M(D) bzgl. ONB berechnen.
5) transponieren (sind ja nur reelle Koeffizienten)
6) zurücktransformieren.
Ich bekomme trotz mehrfachem nachrechnen abenteuerliche Werte heraus, stimmt der Ansatz?
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> V Vektorraum aller reellen Polynome, Grad kleiner 4.
> < p, q > = [mm]\integral_{0}^{1}{p(t)*q(t) dt}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei D : V ->
> V der Differtialoperator.
> B := {1, t, [mm]t^{2}, t^{3}, t^{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine Basis für V.
> berechne die Matrixdarstellung von D*, der adjungierten
> Abbildung.
> Mein Lösungsweg:
>
> 1) ONB beschaffen (Gram Schmidt).
> 2) Basistransformationsmatrizen berechnen, B->ONB ist
> einfach, dann ONB->B einfach die Inverse.
> 3) M(D) bzgl. Basis B berechnen.
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &2 &0\\0&0&0&3\\0&0&0&0 }[/mm]
> 4)
> M(D) bzgl. ONB berechnen.
> 5) transponieren (sind ja nur reelle Koeffizienten)
> 6) zurücktransformieren.
>
> Ich bekomme trotz mehrfachem nachrechnen abenteuerliche
> Werte heraus, stimmt der Ansatz?
Hallo,
für mich liest sich das komplett richtig, bis auf daß ich mit der darstellenden Matrix M(D) überhaupt nicht zufrieden bin, aber das ist sicher nur kurzfristige Unkonzentriertheit. Nix richtig Ernstes.
Ein anderes Problem könnte bei Punkt 2) liegen: was man einfach findet und was nicht, mag ja verschieden sein. Für mich jedenfalls ist die Matrix, die die Vektoren bzgl ONB in solche bzgl B transformiert, die einfache. Falls Du hier die Matrizen wirklich vertauscht hast, dürfte der Fehler gefunden sein
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Sa 24.01.2009 | | Autor: | farnold |
> Mein Lösungsweg:
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> 1) ONB beschaffen (Gram Schmidt).
> 2) Basistransformationsmatrizen berechnen, B->ONB ist
> einfach, dann ONB->B einfach die Inverse.
Die Darstellungsmatrix M(D) bzgl. der Basis der Monome ist ja:
$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &2 &0\\0&0&0&3\\0&0&0&0 } [/mm] $
> bis auf daß ich mit der darstellenden Matrix M(D)
> überhaupt nicht zufrieden bin
oder ist da ein Fehler drin?
Jetzt brauch ich die Trafomatrix [mm] T^{-1} [/mm] (von ONB nach B)
dafür stelle ich die Elemente der ONB als Linearkombination von B dar:
Basis ONB:= [mm] (1,t/\wurzel{12} [/mm] - [mm] 0.5/\wurzel{12},...)
[/mm]
1 = 1*1 + 0*t + 0*t² + [mm] 0*t^{3}
[/mm]
[mm] t/\wurzel{12} [/mm] - [mm] 0.5/\wurzel{12} [/mm] = [mm] (1/\wurzel{12})*1 [/mm] + [mm] (-0.5/\wurzel{12}) [/mm] * t + 0*t² + [mm] 0*t^{3}
[/mm]
...
damit lautet die erste Spalte meiner Trafomatrix [mm] T^{-1} [/mm] (von ONB->B) (1,0,0,0) und die 2. Spalte [mm] (1/\wurzel{12} [/mm] , [mm] -0.5/\wurzel{12} [/mm] ,0,0)
kann das richtig sein, die ergebnise sind ja doch recht abenteurlich.
Habe ich die Trafos, bekomme ich mit [mm] T*M(D)*T^{-1} [/mm] die Matrix M(D) bzgl. der ONB?
Wenn ich diese habe transponieren etc.
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> > Mein Lösungsweg:
> >
> > 1) ONB beschaffen (Gram Schmidt).
> > 2) Basistransformationsmatrizen berechnen, B->ONB ist
> > einfach, dann ONB->B einfach die Inverse.
>
>
> Die Darstellungsmatrix M(D) bzgl. der Basis der Monome ist
> ja:
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &2 &0\\0&0&0&3\\0&0&0&0 }[/mm]
> >
> bis auf daß ich mit der darstellenden Matrix M(D)
> > überhaupt nicht zufrieden bin
> oder ist da ein Fehler drin?
Hallo,
ja. Rechne doch mal die Bilder der Basisvektoren aus.
>
>
> Jetzt brauch ich die Trafomatrix [mm]T^{-1}[/mm] (von ONB nach B)
> dafür stelle ich die Elemente der ONB als
> Linearkombination von B dar:
> Basis ONB:= [mm](1,t/\wurzel{12}[/mm] - [mm]0.5/\wurzel{12},...)[/mm]
> 1 = 1*1 + 0*t + 0*t² + [mm]0*t^{3}[/mm]
> [mm]t/\wurzel{12}[/mm] - [mm]0.5/\wurzel{12}[/mm] = [mm](1/\wurzel{12})*1[/mm] +
> [mm](-0.5/\wurzel{12})[/mm] * t + 0*t² + [mm]0*t^{3}[/mm]
> ...
>
> damit lautet die erste Spalte meiner Trafomatrix [mm]T^{-1}[/mm]
> (von ONB->B) (1,0,0,0) und die 2. Spalte [mm](1/\wurzel{12}[/mm] ,
> [mm]-0.5/\wurzel{12}[/mm] ,0,0)
Im Prinzip ja, allerdings ist das zweite Element Deiner ONB nicht richtig. Es ist ja nicht normiert.
Gruß v. Angela
> kann das richtig sein, die ergebnise sind ja doch recht
> abenteurlich.
> Habe ich die Trafos, bekomme ich mit [mm]T*M(D)*T^{-1}[/mm] die
> Matrix M(D) bzgl. der ONB?
>
> Wenn ich diese habe transponieren etc.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 So 25.01.2009 | | Autor: | farnold |
Hallo, vielen dank für die schnelle antwort :)
> Hallo,
>
> ja. Rechne doch mal die Bilder der Basisvektoren aus.
Basisvektoren:= [mm] <1,t,t²,t^{3}>
[/mm]
D(1) = 0
D(t) = 1
D(t²) = 2t
[mm] D(t^{3}) [/mm] = 3t²
=>
$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &2 &0\\0&0&0&3\\0&0&0&0 } [/mm] $
hm finde da irgendwie keinen fehler :(
> Im Prinzip ja, allerdings ist das zweite Element Deiner ONB nicht richtig. > Es ist ja nicht normiert.
[mm] w_{2}^{'} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] - [mm] w_{1}
[/mm]
= t - [mm] \integral_{0}^{1}{t*1 dt} [/mm] * 1
= t - 0.5
jetzt noch normieren:
[mm] w_{2} [/mm] = ||t-0.5|| = [mm] t/\wurzel{12} [/mm] $ - $ [mm] 0.5/\wurzel{12}
[/mm]
oder habe ich das falsch normiert ( zum normieren habe ich das gegebene innere Produkt genommen).
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> Hallo, vielen dank für die schnelle antwort :)
>
> > Hallo,
> >
> > ja. Rechne doch mal die Bilder der Basisvektoren aus.
> Basisvektoren:= [mm]<1,t,t²,t^{3}>[/mm]
> D(1) = 0
> D(t) = 1
> D(t²) = 2t
> [mm]D(t^{3})[/mm] = 3t²
> =>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &2 &0\\0&0&0&3\\0&0&0&0 }[/mm]
> hm
> finde da irgendwie keinen fehler :(
Hallo,
nee?
Ich finde nicht den Funktionswert des Vektors [mm] t^4.
[/mm]
Man ist doch in einem 5-dimensionalen VR!
>
> > Im Prinzip ja, allerdings ist das zweite Element Deiner ONB
> nicht richtig. > Es ist ja nicht normiert.
>
> [mm]w_{2}^{'}[/mm] = [mm]v_{2}[/mm] - [mm]w_{1}[/mm]
> = t - [mm]\integral_{0}^{1}{t*1 dt}[/mm] * 1
> = t - 0.5
> jetzt noch normieren:
> [mm]w_{2}[/mm] = ||t-0.5|| = [mm]t/\wurzel{12}[/mm] [mm]-[/mm] [mm]0.5/\wurzel{12}[/mm]
> oder habe ich das falsch normiert ( zum normieren habe ich
> das gegebene innere Produkt genommen).
Ja, ich hab doch gesagt, daß falsch normiert ist.. Daß Du das gegebene Produkt nimmst, ist schon richtig. Du mußt bloß noch richtig rechnen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 25.01.2009 | | Autor: | farnold |
$ [mm] w_{2}^{'} [/mm] $ = $ [mm] v_{2} [/mm] $ - $ [mm] w_{1} [/mm] $
= t - $ [mm] \integral_{0}^{1}{t\cdot{}1 dt} [/mm] $ * 1
= t - 0.5
jetzt noch normieren:
$ [mm] w_{2} [/mm] $ = ||t-0.5||
= [mm] \wurzel{}
[/mm]
= [mm] \wurzel{ \integral_{0}^{1}{ (t-0.5)*(t-0.5) dt} }
[/mm]
= [mm] \wurzel{ \integral_{0}^{1}{ t² - t + 0.25 dt} }
[/mm]
= [mm] \wurzel{ (1/3)*1^{3} - 0.5*1² + 0.25*1 }
[/mm]
= [mm] \wurzel{ (1/12) }
[/mm]
=> [mm] w_{2} [/mm] = [mm] (t-0.5)*\wurzel{12}
[/mm]
ist's so richtig?
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> => [mm]w_{2}[/mm] = [mm](t-0.5)*\wurzel{12}[/mm]
>
> ist's so richtig?
Hallo,
ja, jetzt stimmt's.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 25.01.2009 | | Autor: | farnold |
> 4) M(D) bzgl. ONB berechnen.
> 5) transponieren (sind ja nur reelle Koeffizienten)
> 6) zurücktransformieren.
rechne jetzt schon ewigkeiten rum und komm irgendwie auf keinen grünen zweig :(
A=Orthonormalbasis
habe [mm] S_B_A [/mm] (von der Basis B in Basis A) und die inverse bestimmt.
habe dann X := [mm] S_B_A* M(D)_B_B [/mm] * [mm] S_A_B [/mm] berechnet,
nun X transponiert
als letzten schritt muss ich X transponiert bzgl. der Basis B darstellen.
Was muss ich tun um diese Basis bzgl. der Basis B darzustellen?
Muss ich die Transformationsmatrizen auch transformieren?
oder einfach so: [mm] S_A_B [/mm] * [mm] X^{t} [/mm] * [mm] S_B_A
[/mm]
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> > 4) M(D) bzgl. ONB berechnen.
> > 5) transponieren (sind ja nur reelle Koeffizienten)
> > 6) zurücktransformieren.
>
> rechne jetzt schon ewigkeiten rum und komm irgendwie auf
> keinen grünen zweig :(
>
> A=Orthonormalbasis
> habe [mm]S_B_A[/mm] (von der Basis B in Basis A) und die inverse
> bestimmt.
> habe dann X := [mm]S_B_A* M(D)_B_B[/mm] * [mm]S_A_B[/mm] berechnet,
> nun X transponiert
> als letzten schritt muss ich X transponiert bzgl. der
> Basis B darstellen.
>
> Was muss ich tun um diese Basis bzgl. der Basis B
> darzustellen?
> Muss ich die Transformationsmatrizen auch transformieren?
>
> oder einfach so: [mm]S_A_B[/mm] * [mm]X^{t}[/mm] * [mm]S_B_A[/mm]
Hallo,
ja, so.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mo 26.01.2009 | | Autor: | kunzmaniac |
Hi, also ich habe es dann doch tatsächlich noch fertig gerechnet - grausame Matrizenmultiplikationen :(
Es gibt aber meiner Meinung nach noch den Weg direkt über die Dafinition des Skalarproduktes zu gehen, das habe ich allerdings noch nciht bis zum Ende verfolgt.
Wahrscheinlich ist das zugehörige Gleichungssystem auch nicht gerade angenem zu lösen :)
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